Controllo compito: app. lineare e geometria nello spazio
Ciao ragazzi ieri ho fatto l'esame di geometria e siccome all'orale mi chiede la risoluzione di cose eventualmente sbagliate volevo vedere se avevo fatto bene il compito. Mi potete aiutare? Non spaventatevi...ho risolto tutti gli esercizi sono solo da controllare. Vi prego perchè se questo compito è andato bene tra due giorni ho l'orale...grazie
Esercizio 1
Data l’applicazione lineare $f : RR^2->R4$ tale che $(1,-1)inKerf$ e $(2,-1)inf^{-1}(1,-1,1,-1)$
(a) si determini la matrice di f rispetto alle basi canoniche ;
(b) si determini una base di Kerf e una base di Imf e si dica se f e’ iniettiva o suriettiva;
(c) si trovi (se possibile) un’applicazione lineare $g : RR^4->RR^2$ tale che Img sia il sottospazio vettoriale
di $RR^2$ avente come base il vettore $(1,-1)$.
L'ho risolto così:
a)$((a,b),(c,d),(e,f),(g,h))((1),(-1))=((0),(0),(0),(0))$
Ottengo il sistema: $\{(a-b=0),(c-d=0),(e-f=0),(g-h=0):}$
$((a,b),(c,d),(e,f),(g,h))((2),(-1))=((1),(-1),(1),(-1))$
Ottengo il sistema: $\{(2a-b=1),(2c-d=-1),(2e-f=1),(2g-h=-1):}$
Metto i due sistemi in un unico gigante sistemone ottenendo:
a=1
b=1
c=-1
d=-1
e=1
f=1
g=-1
h=-1
Da cui la matrice: $A=((1,1),(-1,-1),(1,1),(-1,-1))$
b)riduco per righe: $((1,1),(0,0),(0,0),(0,0))$ da cui $x+y=0$ quindi $x=-y$ una base del ker è quindi $(-y,y)->(1,-1)$
una base dell'immagine è $(1,-1,1,-1)$
L'applicazione non è nè iniettiva ne suriettiva.
c)Ho scritto che l'applicazione lineare è $((1,1,1,1),(-1,-1,-1,-1))$
Esercizio 2
Data la conica di equazione $x^2+xy+y^2-y=0$
(a) la si classifichi e se ne trovino centro e assi di simmetria ;
(b) si trovi una forma canonica per l’equazione data.
Mi viene di centro $c=(-1/3,2/3)$ e asintoti $x+y-1/3=0$ e $x-y+1=0$
La forma canonica: $1/2x^2+3/2y^2-1/3=0$
Esercizio 3
Dati i vettori $u=2i-j+k$ e $v=i$ e la sfera di equazione $x^2+(y+1)^2+z^2=9$
(a) si trovino tutti i piani che sono paralleli sia a u che a v ;
(b) tra i piani trovati in (a), si individuino gli eventuali sottospazi vettoriali di $RR^3$;
(c) tra i piani trovati in (a), si determinino quelli che tagliano sulla sfera data una circonferenza di
raggio 2.
a) Faccio il prodotto vettoriale che mi dà come risultante $q=j+k$ per cui $(0,1,1)$ e lo uso come vettore ortogonale al piano, cioè il piano: $y+z+d=0$
b)per essere un sottospazio vettoriale deve soddisfare le tre proprietà di somma, prodotto ed esistenza dello 0...per cui per soddisfare l'ultima è necessario che d=0. Da qui il piano $y+z=0$
c)Ho trovato la distanza centro-piano con pitagora, sfruttando il raggio della sfera e il raggio della circonferenza:
$d=sqrt{3^2-2^2}$
$d=sqrt{9-4}$
$d=sqrt{5}$
Poi ho impostato la distanza centro piano uguale alla distanza appena trovata cioè $sqrt{5}$:
$|(y+z+d)|/sqrt{2}=sqrt{5}$
da cui $d=1+sqrt{10}$ e $d=1-sqrt{10}$
Vado a sostituire d nel piano $y+z+d=0$ e ottengo i due piani.
Esercizio 1
Data l’applicazione lineare $f : RR^2->R4$ tale che $(1,-1)inKerf$ e $(2,-1)inf^{-1}(1,-1,1,-1)$
(a) si determini la matrice di f rispetto alle basi canoniche ;
(b) si determini una base di Kerf e una base di Imf e si dica se f e’ iniettiva o suriettiva;
(c) si trovi (se possibile) un’applicazione lineare $g : RR^4->RR^2$ tale che Img sia il sottospazio vettoriale
di $RR^2$ avente come base il vettore $(1,-1)$.
L'ho risolto così:
a)$((a,b),(c,d),(e,f),(g,h))((1),(-1))=((0),(0),(0),(0))$
Ottengo il sistema: $\{(a-b=0),(c-d=0),(e-f=0),(g-h=0):}$
$((a,b),(c,d),(e,f),(g,h))((2),(-1))=((1),(-1),(1),(-1))$
Ottengo il sistema: $\{(2a-b=1),(2c-d=-1),(2e-f=1),(2g-h=-1):}$
Metto i due sistemi in un unico gigante sistemone ottenendo:
a=1
b=1
c=-1
d=-1
e=1
f=1
g=-1
h=-1
Da cui la matrice: $A=((1,1),(-1,-1),(1,1),(-1,-1))$
b)riduco per righe: $((1,1),(0,0),(0,0),(0,0))$ da cui $x+y=0$ quindi $x=-y$ una base del ker è quindi $(-y,y)->(1,-1)$
una base dell'immagine è $(1,-1,1,-1)$
L'applicazione non è nè iniettiva ne suriettiva.
c)Ho scritto che l'applicazione lineare è $((1,1,1,1),(-1,-1,-1,-1))$
Esercizio 2
Data la conica di equazione $x^2+xy+y^2-y=0$
(a) la si classifichi e se ne trovino centro e assi di simmetria ;
(b) si trovi una forma canonica per l’equazione data.
Mi viene di centro $c=(-1/3,2/3)$ e asintoti $x+y-1/3=0$ e $x-y+1=0$
La forma canonica: $1/2x^2+3/2y^2-1/3=0$
Esercizio 3
Dati i vettori $u=2i-j+k$ e $v=i$ e la sfera di equazione $x^2+(y+1)^2+z^2=9$
(a) si trovino tutti i piani che sono paralleli sia a u che a v ;
(b) tra i piani trovati in (a), si individuino gli eventuali sottospazi vettoriali di $RR^3$;
(c) tra i piani trovati in (a), si determinino quelli che tagliano sulla sfera data una circonferenza di
raggio 2.
a) Faccio il prodotto vettoriale che mi dà come risultante $q=j+k$ per cui $(0,1,1)$ e lo uso come vettore ortogonale al piano, cioè il piano: $y+z+d=0$
b)per essere un sottospazio vettoriale deve soddisfare le tre proprietà di somma, prodotto ed esistenza dello 0...per cui per soddisfare l'ultima è necessario che d=0. Da qui il piano $y+z=0$
c)Ho trovato la distanza centro-piano con pitagora, sfruttando il raggio della sfera e il raggio della circonferenza:
$d=sqrt{3^2-2^2}$
$d=sqrt{9-4}$
$d=sqrt{5}$
Poi ho impostato la distanza centro piano uguale alla distanza appena trovata cioè $sqrt{5}$:
$|(y+z+d)|/sqrt{2}=sqrt{5}$
da cui $d=1+sqrt{10}$ e $d=1-sqrt{10}$
Vado a sostituire d nel piano $y+z+d=0$ e ottengo i due piani.
Risposte
Esercizio 1: Giusto ma hai fatto una marea di conti inutili. Un unico appunto al punto c):
Quella è la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche e non l'applicazione lineare.
"Xorik":
c)Ho scritto che l'applicazione lineare è $((1,1,1,1),(-1,-1,-1,-1))$
Quella è la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche e non l'applicazione lineare.
Esercizio 3: Perfetto.
Esercizio 2 punto a):
Il centro è giusto. Poi tu scrivi "asintoti .....". Asintoti? La conica è un'ellisse! Quelli sono gli assi (e quindi gli assi di simmetria), non gli asintoti.
Per il punto b) non ho fatto i conti. Però ho provato a disegnarla, dovrebbe essere giusta.
Il centro è giusto. Poi tu scrivi "asintoti .....". Asintoti? La conica è un'ellisse! Quelli sono gli assi (e quindi gli assi di simmetria), non gli asintoti.
Per il punto b) non ho fatto i conti. Però ho provato a disegnarla, dovrebbe essere giusta.
Si scusa assi volevo dire 
Comunque cirasa nel punto c scrivendo la matrice associata l'applicazione sarebbe $f(x,y,z,k)=(x+y+z+k,-x-y-z-k)$ è corretto?
Sì, è corretto
E invece nel primo punto...dove mi dici che ho fatto un sacco di calcoli inutili...c'è un modo per velocizzare il tutto?
[mod="Steven"]Ciao Xorik.
Ho modificato il titolo del topic "esame lunedì controllo compito" in modo che fosse meno generico.
L'uso di titoli specifici facilita la scelta degli utenti nella navigazione ed è raccomandato.
A presto.[/mod]
Ho modificato il titolo del topic "esame lunedì controllo compito" in modo che fosse meno generico.
L'uso di titoli specifici facilita la scelta degli utenti nella navigazione ed è raccomandato.
A presto.[/mod]
Nessun problema Steven! 
Allora non c'è alcun modo di fare il primo punto più velocemente?
Innanzitutto è facile osservare $v_1=((1),(-1))$ e $v_2=((2),(-1))$ formano una base di $RR^2$.
Sai che $v_1\in"ker"f$. Quindi $f(v_1)=0$.
Sai inoltre che $v_2\in f^{-1}(1,-1,1,-1)$, da cui $f(v_2)=((1),(-1),(1),(-1))$.
Segue che la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $(v_1,v_2)$ di $RR^2$ e alla base canonica di $RR^4$ è $((0,1),(0,-1),(0,1),(0,-1))$.
Da qui puoi facilmente passare alla matrice di $f$ rispetto alle basi canoniche calcolando
$((0,1),(0,-1),(0,1),(0,-1))((1,2),(-1,-1))^{-1}$
Si tratta di calcolare l'inversa di una matrice $2\times 2$ e un prodotto fra matrici che dovrebbe essere più semplice che risolvere un sistema 8 equazioni in 8 incognite...
Per il punto b), $f$ non è ingettiva perchè $"ker"f$ non è banale, in quanto $v_1$ vi appartiene.
Dalla formula $dim\ "ker"f+dim\ "Im"f=2$, ottieni che $dim\ "Im"f!=4$, quindi $"Im"f!=RR^4$. Perciò $f$ non è surgettiva.
Sai che $v_1\in"ker"f$. Quindi $f(v_1)=0$.
Sai inoltre che $v_2\in f^{-1}(1,-1,1,-1)$, da cui $f(v_2)=((1),(-1),(1),(-1))$.
Segue che la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $(v_1,v_2)$ di $RR^2$ e alla base canonica di $RR^4$ è $((0,1),(0,-1),(0,1),(0,-1))$.
Da qui puoi facilmente passare alla matrice di $f$ rispetto alle basi canoniche calcolando
$((0,1),(0,-1),(0,1),(0,-1))((1,2),(-1,-1))^{-1}$
Si tratta di calcolare l'inversa di una matrice $2\times 2$ e un prodotto fra matrici che dovrebbe essere più semplice che risolvere un sistema 8 equazioni in 8 incognite...
Per il punto b), $f$ non è ingettiva perchè $"ker"f$ non è banale, in quanto $v_1$ vi appartiene.
Dalla formula $dim\ "ker"f+dim\ "Im"f=2$, ottieni che $dim\ "Im"f!=4$, quindi $"Im"f!=RR^4$. Perciò $f$ non è surgettiva.
"cirasa":
Da qui puoi facilmente passare alla matrice di $f$ rispetto alle basi canoniche calcolando
$((0,1),(0,-1),(0,1),(0,-1))((1,2),(-1,-1))^{-1}$
Non mi è chiaro però questo passaggio...ho compreso la matrice associata alle due basi ma non capisco il perchè la moltiplichi per l'inversadi quei vettori...
PS Scusa Cirasa non intendevo metterti fretta, è solo che questo esame è la 4 volta che lo provo e sono stufo...comunque non c'è scusa che tenga. Sorry!!!
Uffa, che casino, ho sbagliato! 
Dovevo riportare parte del mio post precedente e invece l'ho modificato!
Un attimo, riscrivo tutto!
Dovevo riportare parte del mio post precedente e invece l'ho modificato!
Un attimo, riscrivo tutto!
Tranquillo capita 
Ok, ora dovrebbe andare. Scusami
Quella matrice $2\times 2$ è la matrice di passaggio dalla base canonica di $RR^2$ alla base formata dai vettori $v_1$ e $v_2$.
Si tratta di calcolare la matrice associata a $f$ rispetto a coppie di basi diverse. Spero che abbiate studiato un risultato che lega le espressioni delle due matrici.
$((0,1),(0,-1),(0,1),(0,-1))$ Questa è la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $(v_1,v_2)$ di $RR^2$ e alla base canonica di $RR^4$.
$((0,1),(0,-1),(0,1),(0,-1))((1,2),(-1,-1))^{-1}$ Questa qui, invece, è la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $RR^2$ e alla base canonica di $RR^4$.
Se ancora hai problemi, ti enuncio il teorema, così puoi confrontare con i tuoi appunti o con un libro.
Quella matrice $2\times 2$ è la matrice di passaggio dalla base canonica di $RR^2$ alla base formata dai vettori $v_1$ e $v_2$.
Si tratta di calcolare la matrice associata a $f$ rispetto a coppie di basi diverse. Spero che abbiate studiato un risultato che lega le espressioni delle due matrici.
$((0,1),(0,-1),(0,1),(0,-1))$ Questa è la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $(v_1,v_2)$ di $RR^2$ e alla base canonica di $RR^4$.
$((0,1),(0,-1),(0,1),(0,-1))((1,2),(-1,-1))^{-1}$ Questa qui, invece, è la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $RR^2$ e alla base canonica di $RR^4$.
Se ancora hai problemi, ti enuncio il teorema, così puoi confrontare con i tuoi appunti o con un libro.
Non mi tornava perchè i cambi di base non li abbiamo mai fatti usando le matrici...ma solo le combinazioni lineari...comunque mi interesserebbe sapere un po di più. Se hai voglia mi potresti dare qualche dritta?
Ok, se non l'avete fatto non importa.
Premesso che anche la tua soluzione è giusta, ecco come avresti potuto fare usando le combinazioni lineari.
Avresti potuto trovare la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche nota la matrice associata rispetto ad altre basi. Ecco il procedimento:
Indico con $e_1,e_2$ la base canonica di $RR^2$.
Si osserva che $e_1=v_2-v_1$ e che $e_2=-2v_1+v_2$
Segue che
$f(e_1)=f(v_2)-f(v_1)=((1),(-1),(1),(-1))$
$f(e_2)=-2f(v_1)+f(v_2)=((1),(-1),(1),(-1))$
Da cui si ottiene che la matrice associata alle basi canoniche di $RR^2$ e $RR^4$ è $((1,1),(-1,-1),(1,1),(-1,-1))$.
Lo stesso risultato che hai ottenuto tu e che avresti ottenuto calcolando quel prodotto fra matrici.
Spero di averti aiutato... in bocca al lupo per l'esame!
Premesso che anche la tua soluzione è giusta, ecco come avresti potuto fare usando le combinazioni lineari.
Avresti potuto trovare la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche nota la matrice associata rispetto ad altre basi. Ecco il procedimento:
Indico con $e_1,e_2$ la base canonica di $RR^2$.
Si osserva che $e_1=v_2-v_1$ e che $e_2=-2v_1+v_2$
Segue che
$f(e_1)=f(v_2)-f(v_1)=((1),(-1),(1),(-1))$
$f(e_2)=-2f(v_1)+f(v_2)=((1),(-1),(1),(-1))$
Da cui si ottiene che la matrice associata alle basi canoniche di $RR^2$ e $RR^4$ è $((1,1),(-1,-1),(1,1),(-1,-1))$.
Lo stesso risultato che hai ottenuto tu e che avresti ottenuto calcolando quel prodotto fra matrici.
Spero di averti aiutato... in bocca al lupo per l'esame!
Moltissimo!!! Grazie mille!!!!
Un'ultima cosa...come si chiama quel teorema?
Non credo abbia un nome. Se ce l'ha io non l'ho mai sentito.
Il teorema mostra la relazione che intercorre fra le espressioni delle matrici associate ad un'applicazione lineare rispetto a basi diverse.
Il teorema mostra la relazione che intercorre fra le espressioni delle matrici associate ad un'applicazione lineare rispetto a basi diverse.
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