Controimmagine di una retta parametrizzata

[Wolfyndoom]

Ciao ragazzi, ho qualche problema col seguente esercizio:

f: R^3 ---> R^3

Con l' applicazione:
f(x,y,z) = (x+y-z-1 , y+z+1 , x-2z)

ed una retta: r = (-2+t , -2-y , 1+t)

l' esercizio chiede di trovare l' antimmagine della retta:

f^-1(r) = {(x,y,z) appartenente a R^3 : f(x,y,z) appartenente a r}

Ora, il procedimento che utilizzerei e' il seguente:

1) Metto a sistema l' applicazione eugagliandola con la retta, cioè:

\begin{cases}x+y-z-1=-2+t\\y+z+1=-2-t\\x-2z=1+t\end{cases}

2) Per semplificare il lavoro da fare, passo il sistema da parametrico a cartesiano, ottenendo così due equazioni senza parametro:

\begin{cases}x+2y=-6\\x+y+z=-2\end{cases}

3) Ottenuto il nuovo sistema ne verifico la compatibilità, ed effettivamente:

rk((1,2,0),(1,1,-1))=2 (matrice incompleta)

e rk((1,2,0,-6),(1,1,-1,-2))=2 (matrice completa)

il sistema e' compatibile con ∞^1 Sol

4) Dunque risolvendo il sistema ottengo:

\begin{cases}x=2+2t\\y=-4-t\\z=t\end{cases}

Il mio quesito è questo:
Il procedimento è corretto? E' valida la soluzione? (anche se ho forti dubbi, dato che facendo una verifica con vettore trovato non viene la retta r) Se le risposte sono negative, come fare?

[Camillo]

Sei sicuro che la retta in forma parametrica sia scritta correttamente ?

[Wolfyndoom]

Absolutly (anche io ho sempre avuto lo stesso dubbio ma essendo ripreso da un testo d' esame, non credo che vi siano errori)

[stormy1]

il sistema
$ { ( x+y-z =-1+t),( y+z=-3-t ),( x-2z=1+t ):} $
ha matrice incompleta di rango 2

la matrice completa ha anch'essa rango 2 solo se $t=-1$
quindi l'unico punto della retta ,immagine di elementi del dominio mediante $f$, è il punto $A(-3-1,0)$
l'esercizio si riconduce al calcolo di $f^(-1)(A)$