Controimmagine di un vettore al variare di un parametro reale
Il problema dice:
Sia $f : \Re^4 \rightarrow \Re^4$ l'endomorfismo definito da:
$f((x, y, z, t)) = (13x + y - 2z + 3t, 10y, 9z + 6t, 6z + 4t)$
Determinare la controimmagine del vettore $\vec v = (0, 2h, 1, h - 4)$ al variare del parametro $h$.,
Devo quindi trovare $f^1(\vec v)$
Se chiamo $A$ la matrice ricavata dalla funzione $f$, ho:
\begin{pmatrix}
13& 1& -2& 3\\
0& 10& 0& 0\\
0& 0& 9& 6\\
0& 0& 6& 4
\end{pmatrix}
So che $A \vec x = \vec v$, con $\vec x$ la colonna delle soluzioni della controimmagine.
Se faccio così mi dovrei trovare con questo sistema:
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(10y = 2h),(9z + 6t = 1),(6z + 4t = h -4):}$
Però in realtà non so come dovrei procedere dato che ho quattro equazioni con cinque incognite.
Sto procedendo bene? Oppure sto sbagliando?
Sia $f : \Re^4 \rightarrow \Re^4$ l'endomorfismo definito da:
$f((x, y, z, t)) = (13x + y - 2z + 3t, 10y, 9z + 6t, 6z + 4t)$
Determinare la controimmagine del vettore $\vec v = (0, 2h, 1, h - 4)$ al variare del parametro $h$.,
Devo quindi trovare $f^1(\vec v)$
Se chiamo $A$ la matrice ricavata dalla funzione $f$, ho:
\begin{pmatrix}
13& 1& -2& 3\\
0& 10& 0& 0\\
0& 0& 9& 6\\
0& 0& 6& 4
\end{pmatrix}
So che $A \vec x = \vec v$, con $\vec x$ la colonna delle soluzioni della controimmagine.
Se faccio così mi dovrei trovare con questo sistema:
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(10y = 2h),(9z + 6t = 1),(6z + 4t = h -4):}$
Però in realtà non so come dovrei procedere dato che ho quattro equazioni con cinque incognite.
Sto procedendo bene? Oppure sto sbagliando?
Risposte
Ha un sistema di 4 equazioni, con 4 incognite $x, y, z, t$ e un parametro $h in RR$!
Facendo i calcoli mi blocco ad un punto:
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(y = h/5),(z = 1/9 - 2/3t),(6z + 4t = h - 4):}$
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(y = h/5),(z = 1/9 - 2/3t),(6(1/9 - 2/3t) + 4t = h - 4):}$
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(y = h/5),(z = 1/9 - 2/3t),(6/9 - 12/3t + 4t = h - 4):}$
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(y = h/5),(z = 1/9 - 2/3t),(2/3 - 4t + 4t = h - 4):}$
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(y = h/5),(z = 1/9 - 2/3t),(h = 14/3):}$
Anche se mi trovo il parametro $h$ come faccio a risolvere le altre equazioni ora che $t$ è sparito? A questo punto mi trovo con tre equazioni e quattro incongnite.
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(y = h/5),(z = 1/9 - 2/3t),(6z + 4t = h - 4):}$
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(y = h/5),(z = 1/9 - 2/3t),(6(1/9 - 2/3t) + 4t = h - 4):}$
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(y = h/5),(z = 1/9 - 2/3t),(6/9 - 12/3t + 4t = h - 4):}$
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(y = h/5),(z = 1/9 - 2/3t),(2/3 - 4t + 4t = h - 4):}$
$\{(13x + y - 2z + 3t = 0),(y = h/5),(z = 1/9 - 2/3t),(h = 14/3):}$
Anche se mi trovo il parametro $h$ come faccio a risolvere le altre equazioni ora che $t$ è sparito? A questo punto mi trovo con tre equazioni e quattro incongnite.
Prova a ridurre la matrice completa con l'algoritmo di Gauss-Jordan!
$h$ è un parametro, non un'equazione da ricavare! In ogni caso, $t$, non sparisce, semplicemente non deve soddisfare nessuna condizione, quindi è arbitrario!
"Kernul":
Anche se mi trovo il parametro $h$ come faccio a risolvere le altre equazioni ora che $t$ è sparito? A questo punto mi trovo con tre equazioni e quattro incongnite.
$h$ è un parametro, non un'equazione da ricavare! In ogni caso, $t$, non sparisce, semplicemente non deve soddisfare nessuna condizione, quindi è arbitrario!
Mi trovo che la quarta riga è una linearmente dipendente dalla terza.
E divido la quarta per due e la terza per 3 mi trovo che sono identiche quindi posso eliminare una delle due equazioni nel sistema. A questo punto devo scegliere un parametro arbitrario per una delle incognite, per esempio $z = a$, giusto?
E divido la quarta per due e la terza per 3 mi trovo che sono identiche quindi posso eliminare una delle due equazioni nel sistema. A questo punto devo scegliere un parametro arbitrario per una delle incognite, per esempio $z = a$, giusto?
Ah... scusa, avevo frainteso...
Comunque in questo caso hai $4$ incognite e $3$ equazioni, cioè $oo^1$ soluzioni: 3 incognite "dominanti" dipenderanno dal valore arbitrario che dai all'incognita "libera". Comunque, una volta ridotta la matrice hai applicato il teorema di Rouché-Capelli per verificare la compatibilità del sistema?
Lo scopo dell'esercizio non è tanto di risolvere il sistema, ma di discutere, al variare di $h$ in $RR$, quale sia la controimmagine del vettore.
Comunque in questo caso hai $4$ incognite e $3$ equazioni, cioè $oo^1$ soluzioni: 3 incognite "dominanti" dipenderanno dal valore arbitrario che dai all'incognita "libera". Comunque, una volta ridotta la matrice hai applicato il teorema di Rouché-Capelli per verificare la compatibilità del sistema?
Lo scopo dell'esercizio non è tanto di risolvere il sistema, ma di discutere, al variare di $h$ in $RR$, quale sia la controimmagine del vettore.
Cioè devo vedere se il rango di $A$ è uguale al rango di $(A|\vec v)$? E questo al variare del parametro $h$?
"Kernul":
Cioè devo vedere se il rango di $A$ è uguale al rango di $(A|\vec v)$? E questo al variare del parametro $h$?
Esattamente!
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