Controimmagine di un vettore al variare di un parametro
Salve, volevo sapere se lo svolgimento del seguente esercizio è corretto:
"Dato l'endomorfismo $f : RR^4 \to RR^4, f(x,y,z,t) = (9x + 6y, 6x + 4y, -2x + 3y + 13z + t, 10t)$, determinare la controimmagine del vettore $\vec v = (1, h-4, 0, 2h)$ al variare del parametro $h$."
Per prima cosa ho scritto la matrice associata all'applicazione lineare:
$A = ((9,6,0,0),(6,4,0,0),(-2,3,13,1),(0,0,0,10))$. Si avrà che $\vec v = Af^-1 (\vec v)$. Scopro che la matrice A ha le prime due righe linearmente dipendenti, quindi $rk(A) = 3$ e quindi ottengo la matrice completa $(A|\vec v) = ((6,0,0,1),(4,0,0,h-4),(3,13,1,0),(0,0,10,2h))$ (ho scelto tre colonne linearmente indipendenti di A). Per il teorema di Rouché-Capelli, affinché il sistema lineare sia compatibile, deve avvenire che $rk(A|\vec v) = rk(A) = 3$, quindi $|(A|\vec v)| = 0$:
$6|(0,0,h-4),(13,1,0),(0,10,2h)| - |(4,0,0),(3,13,1),(0,0,10)| = 6(h-4)(130) - 4(130) = (130)(6h-24-4) = 0 => h = 14/3$.
Quindi il solo vettore $\vec v$ la cui controimmagine non è vuota è quello in cui $h = 14/3$. Risolviamo di conseguenza il sistema lineare:
$\{(9x+6y=1),(6x+4y=2/3),(-2x+3y+13z+t=0),(10t=28/3):} => {(x=a),(y=-\frac{3}{2}a+1/6),(z=\frac{1}{2}a-43/390),(t=14/15):} => f^-1(\vec v) = a((2),(-3),(1),(0)) + ((0),(1/6),(-43/390),(14/15)).$
Quindi tutti i vettori di questo tipo hanno come immagine il vettore $\vec v$.
E' giusto il ragionamento?
"Dato l'endomorfismo $f : RR^4 \to RR^4, f(x,y,z,t) = (9x + 6y, 6x + 4y, -2x + 3y + 13z + t, 10t)$, determinare la controimmagine del vettore $\vec v = (1, h-4, 0, 2h)$ al variare del parametro $h$."
Per prima cosa ho scritto la matrice associata all'applicazione lineare:
$A = ((9,6,0,0),(6,4,0,0),(-2,3,13,1),(0,0,0,10))$. Si avrà che $\vec v = Af^-1 (\vec v)$. Scopro che la matrice A ha le prime due righe linearmente dipendenti, quindi $rk(A) = 3$ e quindi ottengo la matrice completa $(A|\vec v) = ((6,0,0,1),(4,0,0,h-4),(3,13,1,0),(0,0,10,2h))$ (ho scelto tre colonne linearmente indipendenti di A). Per il teorema di Rouché-Capelli, affinché il sistema lineare sia compatibile, deve avvenire che $rk(A|\vec v) = rk(A) = 3$, quindi $|(A|\vec v)| = 0$:
$6|(0,0,h-4),(13,1,0),(0,10,2h)| - |(4,0,0),(3,13,1),(0,0,10)| = 6(h-4)(130) - 4(130) = (130)(6h-24-4) = 0 => h = 14/3$.
Quindi il solo vettore $\vec v$ la cui controimmagine non è vuota è quello in cui $h = 14/3$. Risolviamo di conseguenza il sistema lineare:
$\{(9x+6y=1),(6x+4y=2/3),(-2x+3y+13z+t=0),(10t=28/3):} => {(x=a),(y=-\frac{3}{2}a+1/6),(z=\frac{1}{2}a-43/390),(t=14/15):} => f^-1(\vec v) = a((2),(-3),(1),(0)) + ((0),(1/6),(-43/390),(14/15)).$
Quindi tutti i vettori di questo tipo hanno come immagine il vettore $\vec v$.
E' giusto il ragionamento?
Risposte
Sì 
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Grazie billyballo!
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