Controimmagine di un sottospazio

[mazzy89-votailprof]

ho il seguente esercizio però non riesco a capire la strada da intraprendere

determinare $phi^(-1)(U)$ dove $U=L(x-2,(x-2)^3)$

dove $M=((-1,4,0),(0,0,-2),(0,-1,1))$ è la matrice associata all'applicazione lineare $phi$

conviene forse calcolarsi l'equazione cartesiana dello spazio vettoriale $U$?

[mazzy89-votailprof]

so come calcolare la controimmagine di un vettore e di uno spazio vettoriale definito tramite equazione cartesiana ma di uno spazio generato da una serie di vettori mi spiazza.qualche idea?

[weblan]

"mazzy89":ho il seguente esercizio però non riesco a capire la strada da intraprendere

determinare $phi^(-1)(U)$ dove $U=L(x-2,(x-2)^3)$

dove $M=((-1,4,0),(0,0,-2),(0,-1,1))$ è la matrice associata all'applicazione lineare $phi$

conviene forse calcolarsi l'equazione cartesiana dello spazio vettoriale $U$?

Più che la difficoltà a determinare la controimmagine dell'applicazione, trovo al momento una difficoltà a interpretare in maniera corretta l'esercizio. Una matrice $3x3$ definisce un'applicazione a meno di isomorfismi tra $RR^3$ in $RR^3$, quì è contemplato lo stazio vettoriale $R_3[x]$ che ha dimensione $4$ e visto così $U$ sembra un sottospazio di dimensione $2$, il tutto mi sembra strano. Puoi dirmi da dove hai preso il testo e se quello è il testo completo?

[mazzy89-votailprof]

studiare l'endomorfismo $phi_h:V_h->V_h$ definito dalla legge

$phi_h(a+bx+cx^2+dx^3)=(h-x)(b+2cx+(c-d)x^2)$

dove $V_h={f in RR_3[x] | f(h)=0}$

per iniziare mi calcolo una base di $V_h$. questa sarà $B=(-h+x,-h^2+x^2,-h^3+x^3)$ quindi segue che $V_h=L(-h+x,-h^2+x^2,-h^3+x^3)$.sostituisco alla legge ed ottengo

$phi_h(-h+x)=h-x$

$phi_h(-h^2+x^2)=2hx+(h-2)x^2-x^3$

$phi_h(-h^3+x^3)=-hx^2+x^3$

mi calcolo le componenti rispetto alla base ed ottengo

$phi_h(-h+x)=-v_1$
$phi_h(-h^2+x^2)=2hv_1+(h-2)v_2-v_3$
$phi_h(-h^3+x^3)=-hv_2+v_3$

dove $v_1,v_2,v_3$ sono i tre vettori della base $V_h$

a questo punto posso scriveremo la matrice associata all'applicazione lineare che risulta essere pari a:

$((-1,2h,0),(0,h-2,-h),(0,-1,1))$

questa è la parte iniziale dell'esercizio.medesimo esercizio postato in un post in cui tu weblan avevi risposto. il successivo punto mi chiede proprio di calcolare $phi_2^(-1)(U)$ con $U=L(x-2,(x-2)^3)$

[weblan]

questa è la parte iniziale dell'esercizio.medesimo esercizio postato in un post in cui tu weblan avevi risposto. il successivo punto mi chiede proprio di calcolare $phi_2^(-1)(U)$ con $U=L(x-2,(x-2)^3)$

Devo ammettere che sono esercizi non proprio standard. Io però ragionerei in questo modo:

1) Intanto $h=2$

2) Siano $\lambda$ e $\mu$ due parametri reali:

$phi_2(a+bx+cx^2+dx^3)=(2-x)(b+2cx+(c-d)x^2)$ quindi

$(2-x)(b+2cx+(c-d)x^2)=\lambda(x-2)+\mu(x-2)^3=(2-x)(-\lambda+\mu(x-2)^2)$

Nell'ultima relazione sviluppi i calcoli e imponi l'uguaglianza tra i due polinomi e trovi $b,c,d$ dipendenti da $\lambda$ e $\mu$ e $ainRR$.

[mazzy89-votailprof]

grazie per avermi capito.lo penso anche io che non sono esercizi standard.diciamo infatti che il mio prof è abbastanza eccentrico.ho cercato su parecchi libri ma non ho trovato nulla su questo tipo di esercizi.
quindi te hai preso l'immagine dell'applicazione lineare e l'hai posta uguale alla combinazione lineare dei due vettori che generano $U$.bastava applicare la definizione di controimmagine.cioè l'immagine dell'applicazione deve stare nello spazio generato dai vettori.in questo modo i valori $b,c,d$ dipendono da $lambda$ e $mu$.vero?

[weblan]

Mi sono fermato alle relazioni che ho scritto, ad occhio vedo che puoi esprimere i coefficienti $b,c,d$ in funzione di $\lambda$ e $\mu$. Se cortesemente continui i calcoli e li espliciti.

[mazzy89-votailprof]

certamente non c'è problema.esplicitando i calcoli ottengo:

$(2-x)(b+2cx+(c-d)x^2)=(2-x)(-lambda-4mu+4mux-mux^2)$

$\{(a in RR),(b=-lambda-4mu),(c=2mu),(d=3mu):}$

$phi_2^(-1)(U)=(a+(-lambda-4mu)x+2mux^2+3mux^3)$

[mazzy89-votailprof]

in questo post http://www.matematicamente.it/forum/determinare-matrice-associata-tramite-autospazi-t80242.htmlho lo stesso problema ma qui però l'immagine generale dell'applicazione lineare non c'è l'ho.come posso fare?