Controimmagine di un sottospazio
Dati una M(f), definita usando basi canoniche per dominio e codominio, e un sottospazio V definito tramite equazione cartesiana/una base/elemento generico, voglio calcolare $ f^-1 V $ .
Nel mio eserciziario il procedimento consiste nei seguenti passaggi:
scrivere V tramite equazione cartesiana se non lo è già;
scrivere il vettore generico dell'immagine di M(f);
imporre su tale vettore il passaggio per V.
Semplice. Però io avevo pensato a un'altra via, che ho testato e che si è rivelata a volte equivalente, a volte fallimentare, quindi voglio sapere dove sta l'errore in questo procedimento:
scrivo V tramite elemento generico se non lo è già. Chiamo questo vettore v;
trovo una base per v, ponendo di volta in volta una variabile = 1 e le altre nulle per trovare tutte le componenti della base. Chiamo queste componenti $ v_1 $, $ v_2 $, etc...;
calcolo $ f^(-1)(v_1) $, $ f^(-1)(v_2) $, etc... per tutte le componenti della base per v, semplicemente applicando M(f) "al contrario", cioè risolvendo il sistema $ M(f)*( ( x ),( y ),( ... ) ) = v_n $ per ogni n;
adesso concludo che la controimmagine di V è la combinazione lineare dell'insieme delle controimmagini della base di V, cioè $ f^(-1)V=L[f^(-1)(v_1) ,f^(-1)(v_2),..., f^(-1)(v_n)] $
Penso che il mio errore stia proprio nella conclusione. Forse questo vale solo per isomorfismi mentre non è vero in generale per endomorfismi?
Cioè, in generale, forse non è vero che la controimmagine di V è la combinazione lineare delle controimmagini delle componenti di v, presa una sua base a piacere?
Nel mio eserciziario il procedimento consiste nei seguenti passaggi:
scrivere V tramite equazione cartesiana se non lo è già;
scrivere il vettore generico dell'immagine di M(f);
imporre su tale vettore il passaggio per V.
Semplice. Però io avevo pensato a un'altra via, che ho testato e che si è rivelata a volte equivalente, a volte fallimentare, quindi voglio sapere dove sta l'errore in questo procedimento:
scrivo V tramite elemento generico se non lo è già. Chiamo questo vettore v;
trovo una base per v, ponendo di volta in volta una variabile = 1 e le altre nulle per trovare tutte le componenti della base. Chiamo queste componenti $ v_1 $, $ v_2 $, etc...;
calcolo $ f^(-1)(v_1) $, $ f^(-1)(v_2) $, etc... per tutte le componenti della base per v, semplicemente applicando M(f) "al contrario", cioè risolvendo il sistema $ M(f)*( ( x ),( y ),( ... ) ) = v_n $ per ogni n;
adesso concludo che la controimmagine di V è la combinazione lineare dell'insieme delle controimmagini della base di V, cioè $ f^(-1)V=L[f^(-1)(v_1) ,f^(-1)(v_2),..., f^(-1)(v_n)] $
Penso che il mio errore stia proprio nella conclusione. Forse questo vale solo per isomorfismi mentre non è vero in generale per endomorfismi?
Cioè, in generale, forse non è vero che la controimmagine di V è la combinazione lineare delle controimmagini delle componenti di v, presa una sua base a piacere?
Risposte
bimpity bumpity boo. help :/
Faccio fatica a capire cosa sia la controimmagine di un sottospazio.
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