Controimmagine di un sottospazio.

[Kashaman]

Ammetto che questa tipologia di esercizi mi crea sempre un po di difficoltà XD.

Allora, ho $f :RR^3-> RR^3$ tale che $A=((1,0,2),(0,1,1),(1,1,2))$ è la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica.
Detto $W=<(2,1,3),(0,1,0)>$, l'esercizio mi chiede di determinare $f^(-1)(W)$.

Ho che $f^(-1)(W)={v=xe_1+ye_2+ze_3 \in RR^3 | EE w \in W t.c f(v)=w=a(2,1,3)+b(0,1,0) , a,b \in RR}$.
Ho pensato di ragionare al seguente modo :
Detto $X= ((x),(y),(z))$ il vettore colonna delle componenti di $v$ rispetto alla base canonica e constatato che
$w = 2ae_1+(a+b)e_2+3ae_3$, posso considerare il vettore colonna $Y=((2a),(a+b),(3a))$ delle componenti di un generico vettore di $W$ rispetto alla base canonica. Ho che
$f(v)=w <=> AX=Y <=> EE (x,y,z) \in RR^3 $ risolvente il sistema lineare :
$x+z=2a$
$y+z=a+b$
$2x+y+2z=3a$.


Da cui ottengo
$x=-b$
$y=-b$
$z=3a-2b$
Pertanto $f^(-1)(W)={ v = -be_1-be_2+(3a-2b)e_3 |a,b \in RR}={ v= b(-e_1-e_2-2e_3)+a(3e_3) | a, b \in RR} $
$=<(-1,-1,-2),(0,0,3)>$


Per voi è corretto ragionare in questi termini? o vi sono strade più semplici? grazie mille.

[Sk_Anonymous]

Il ragionamento mi pare corretto ma nell'ultimo sistema forse c'è un errore : il prodotto sembra essere stato fatto colonna per colonna e non riga per colonna ...Dovrebbe essere quindi così :
$((1,0,2),(0,1,1),(1,1,2))\cdot ((x),(y),(z))=((2a),(a+b),(3a))$
Ovvero :
\(\begin{cases}x+2z=2a\\y+z=a+b\\x+y+2z=3a\end{cases}\)
Se non ho fatto errori la soluzione è :
$x=2a-2b,y=a,z=b$
e dunque è :
$f^{-1}(W)=<(2,1,0),(-2,0,1)>$

[Kashaman]

hai ragione! ho toppato un po con i conti, ti ringrazio.