Controimmagine

[riccacasa]

Data $f:R^2\rightarrow{x\in R^3 : x_1-2x_2+3x_3=0}$ tale che
$f(e_1) = -e_1 + e_2 + e_3, f(e_2) = e_1 + 2e_2 + e_3,
calcolare f^(-1)(2e_1 +e_2)$.
Ora io ho trovato la matrice associata rispetto alle basi canoniche e viene $$
{\mathcal A} = \left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 \\
1 & 2 \\
1 & 1
\end{array}
\right)
$$ Ma se la matrice è rettangolare come faccio a fare l'inversa per trovare la controimmagine?

[minomic]

Ciao, puoi risolvere il seguente sistema: $$
\begin{pmatrix}
-1&1\\1&2\\1&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
v_1\\v_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2\\1\\0
\end{pmatrix}
$$

[riccacasa]

Scusami ma non capisco, ma cosa sono i due vettori (v1,v2)? Il sistema così fatto viene (v1v2)=(0,0)

[minomic]

$v_1, v_2$ non sono due vettori, ma i due elementi di un generico vettore $v$. Con quel sistema imponi che la sua immagine sia $((2), (1), (0))$. Comunque la soluzione non è $((0), (0))$... Se lo scrivi nella forma usuale diventa $$
\begin{cases}
-v_1+v_2 = 2\\
v_1 + 2v_2 = 1\\
v_1 + v_2 = 0
\end{cases} \Rightarrow v = \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}
$$

[riccacasa]

GRAZIE!!!!

[minomic]

Prego!

[riccacasa]

Hai mica visto anche gli altri che ancora sono senza risposta? Scusa la sfacciataggine. Grazie!

[Seneca1]

Tieni presente che l'insieme controimmagine $f^{-1}(a)$ non è l'immagine di $a$ nella funzione inversa $f^{-1}$.