Contorno indipendente dall'omeomorfismo
Vorrei un suggerimento per dimostrare questa cosa o eventualmente una smentita.
Ho uno spazio metrico $X$. In $X$ considero l'immagine $Q'$ tramite omeomorfismo $h$ del quadrato $Q= [0,1]^2 sube RR^2$. Devo mostrare che $h(\del Q)$ non dipende dal particolare omeomorfismo $h$ scelto (cioè tutti gli omeomorfismi tra $Q$ e $Q'$ mandano il bordo del quadrato nello stesso sottoinsieme di $Q'$.)
Idee?
Ho uno spazio metrico $X$. In $X$ considero l'immagine $Q'$ tramite omeomorfismo $h$ del quadrato $Q= [0,1]^2 sube RR^2$. Devo mostrare che $h(\del Q)$ non dipende dal particolare omeomorfismo $h$ scelto (cioè tutti gli omeomorfismi tra $Q$ e $Q'$ mandano il bordo del quadrato nello stesso sottoinsieme di $Q'$.)
Idee?
Risposte
Quindi hai $h:Q\to Q'$ un omeomorfismo.
Scelto un ulteriore omeomorfismo $g:Q\to Q'$, la tesi è che $h(\partial Q)=g(\partial Q)$, giusto?
Ma la frontiera è una proprietà topologica, cioè è invariante per omeomorfismi.
Quindi
$h(\partial Q)=\partial(h(Q))$
$g(\partial Q)=\partial(g(Q))$
Segue che
$h(\partial Q)=\partial(h(Q))=\partial Q'=\partial(g(Q))=g(\partial Q)$.
Ho commesso qualche errore?Sembrava troppo facile...
Tra l'altro non è necessario nemmeno che $X$ sia metrico, serve solo uno spazio topologico.
Scelto un ulteriore omeomorfismo $g:Q\to Q'$, la tesi è che $h(\partial Q)=g(\partial Q)$, giusto?
Ma la frontiera è una proprietà topologica, cioè è invariante per omeomorfismi.
Quindi
$h(\partial Q)=\partial(h(Q))$
$g(\partial Q)=\partial(g(Q))$
Segue che
$h(\partial Q)=\partial(h(Q))=\partial Q'=\partial(g(Q))=g(\partial Q)$.
Ho commesso qualche errore?Sembrava troppo facile...
Tra l'altro non è necessario nemmeno che $X$ sia metrico, serve solo uno spazio topologico.
"cirasa":
Ma la frontiera è una proprietà topologica, cioè è invariante per omeomorfismi.
Ecco, appunto. Sto girando intorno a sta cosa da un'ora e non riesco a dimostrarlo. Sono lontano da casa e non ho né i libri né gli appunti con me. Come si dimostra?
Se $h:X\to Y$ è un omeomorfismo e $A\subset X$, allora $h(\partial A)=\partial(h(A))$. Infatti:
Per definizione di frontiera
$\partial A=\bar{A}\cap\bar{X\setminus A}$.
Segue che
$h(\partial A)=h(\bar{A})\cap h(\bar{X\setminus A})=\bar{h(A)}\cap\bar{h(X\setminus A)}=\bar{h(A)}\cap\bar{Y\setminus h(A)}=\partial(h(A))$.
Per definizione di frontiera
$\partial A=\bar{A}\cap\bar{X\setminus A}$.
Segue che
$h(\partial A)=h(\bar{A})\cap h(\bar{X\setminus A})=\bar{h(A)}\cap\bar{h(X\setminus A)}=\bar{h(A)}\cap\bar{Y\setminus h(A)}=\partial(h(A))$.
Ok l'avevo pensato però in questo caso io ho un omeomorfismo definito su quello che tu hai chiamato A e che io avevo chiamato Q nel primo post. E così a priori mi sembra un po' strano applicare quell'omoeomorfismo alla chiusura di A o al complementare di A che sono insiemi diversi (uno è <> e l'altro è proprio disgiunto). Ho pensato che si potrebbe estendere l'omeomorfismo e probabilmente questo è il pezzo che mi manca: se ho un omeomorfismo definito su $A sube X$ questo si estende sempre ad un omeomorfismo su tutto X? E come?...X per quanto spazio metrico potrebbe essere orribilmente complicato.
(Mi sto davvero convincendo che è venuto il momento di ripassare topologia... non mi ricordo niente però ho l'impressione di star girando intorno ad una banalità uff!)
(Mi sto davvero convincendo che è venuto il momento di ripassare topologia... non mi ricordo niente però ho l'impressione di star girando intorno ad una banalità uff!)
Hai ragione, sono stato troppo affrettato 
No figurati, anzi grazie per le risposte!!! 
Magari il problema dell'estensione è una banalità però non riesco a dare una conclusione... ri-uff!
Magari il problema dell'estensione è una banalità però non riesco a dare una conclusione... ri-uff!
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