Continuità omomorfismo di gruppi

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Dato un omomorfismo di gruppi topologici $f:G_C\to U_n$, dove \(G_C=\text{Gal}(K(C^{1/n})/K)\) è il gruppo di Galois, dotato di topologia di Krull, dell'estensione \(K(C^{1/n})/K\) dove \(K(C^{1/n})\) è il campo ottenuto aggiungendo a $K$ tutte le radici $n$-esime di ogni $c$ di un sottogruppo (moltiplicativo) \(C\subset K^{\ast}\), e dove $U_n$ è il gruppo delle radici $n$-esime di 1 dotato di topologia discreta, leggo che $f$ è continuo se* \(\ker f\) è un sottogruppo aperto di $G_C$.
Qualcuno sa come si dimostra questa cosa? Dato che il mio testo non lo spiega, crederei che sia quasi immediata, ma io non ci arrivo...
$\infty$ grazie!!!!!!

[size=85]*e solo se, ma questo mi è chiaro perché la controimmagine dell'aperto \(\{1\}\subset U_n\) è un aperto se $f$ è continuo.[/size]


EDIT: forse, dico forse, ci sono, grazie a quello che leggo qui a p. 7: se \(\ker f\) è aperto direi che è soddisfatta una delle definizioni di continuità in $1\in G_C$: per ogni intorno $N$ dell'elemento neutro $f(1)=1$, cioè nel caso della topologia discreta ogni sottoinsieme che lo contenga, del codominio, esiste quindi l'intorno \(\ker f\in\mathcal{N}(1)\) tale che \(f(\ker f)=1\subset N\).
Questo risultato mi sembra valido per qualunque gruppo topologico come dominio e gruppo topologico discreto come codominio.
Sbaglio?

[Martino]

Giusto, se [tex]A,B[/tex] sono gruppi topologici con [tex]B[/tex] discreto e [tex]f:A \to B[/tex] è un omomorfismo allora certamente se [tex]f[/tex] è continuo allora [tex]N = \ker(f)[/tex], essendo la controimmagine di [tex]\{1\}[/tex] (aperto in B essendo B discreto), è un aperto di [tex]A[/tex], e viceversa se [tex]N[/tex] è aperto allora la controimmagine di un [tex]X \subseteq B[/tex], cioè [tex]\bigcup_{a \in f^{-1}(X)} aN[/tex], è aperto in quanto unione di aperti, quindi [tex]f[/tex] è continuo.

[DavideGenova1]

\(\infty\) grazie, Martino!!!!