Continuità negli spazi topologici

[5mrkv]

Sto cercando di mettere assieme la definizione di continuità e quella di limite. Per quanto riguarda la continuità esiste una definizione che dice che per una funzione continua la retroimmagine di aperti è aperta. Esiste una seconda definizione che fa uso dei punti interni ed una terza chiamata \(\epsilon -\delta\) valida ad esempio per la topologia dell'ordine in \(\mathbb{R}\).

Vorrei mostrare che la prima è equivalente alla seconda e che la seconda è equivalente alla terza. Nel libro invece ho trovato la dimostrazione dell'equivalenza della prima con l'ultima. Allora: Siano \(X,Y\) spazi topologici e sia \(f\) una applicazione da \(X\) ad \(Y\). La prima proposizione è equivalente alla seconda. Le tre proposizioni sono equivalenti nel caso in cui \(\mathbb{R}\) coincida con gli spazi precedenti.

\(1.\) \(\forall\) \(V \in T _{Y}\Rightarrow f^{-1}V\in T_{X}\).
\(2.\) \(\forall x_{0}\in X\), \(\forall V \in T_{Y}\) t.c. \(fx_{0}\in V\Rightarrow \exists U \in T_{X}\) t.c. \(x_{0}\in U\) e \(fU \subset V\).
\(3.\) \(\forall x_{0}\in X\), \(\forall \epsilon>0\) \(\exists \delta >0\) t.c. \({\small |}x-x_{0}{\small |}\Rightarrow {\small |}fx-fx_{0}{\small |}\).

\(1\Rightarrow 2\) Con \(x_{0}\in X\) prendo \(V\) t.c. \(fx_{0}\in V \in T_{Y}\). Ponendo \(U=f^{-1}V\) dalla \(1\) ho che \(U \in T_{X}\), inoltre \(x_{0}\in U \subset V \). Valendo per \(x_{0},V\) arbitrari siamo a posto. \(2\Rightarrow 1\) Dato \(V \in T_{Y}\) prendo\(^{[1]}\) \(x_{0}\in f^{-1}V\) quindi per definizione \(fx_{0}\in V\). Dalla \(2\) allora \(\exists U \in T_{X}\) t.c. \(f(U)\subset V \Rightarrow U \subset f^{-1}V\) e \(x_{0}\in U\).
\(2\Rightarrow 3\) Con \(x_{0}\in X\) pongo \(V_{\epsilon}={\small (}fx_{0}-\epsilon,fx_{0}+\epsilon{\small )}\). Dalla \(2\) allora \(x_{0}\in U\). Esiste un elemento della base\(^{[2]}\) tale che \(x_{0}\in {\small (}a,b{\small )}\in U\) e posto \(\delta =\mbox{min}{ \small \{ }a,b{ \small \} }\) siamo a posto perché il nuovo insieme \(U_{\delta}\) è tale che \(fU_{\delta}\subset V_{\epsilon}\) ovvero vale per esteso la \(3\). \(3\Rightarrow 2\) Se vale la \(3\) allora vale la \(2\) con insiemi del tipo \(V_{\epsilon}\). Siccome appartengono alla base allora \(V\in T_{Y}\) t.c \(fx_{0}\in V\) è unione di insiemi \(V_{\epsilon}\). Il resto segue facilmente.

\([1]\) Ho usato la caratterizzazione di un aperto tramite i punti interni.
\([2]\) La base è quella data dalla topologia dell'ordine. L'insieme della base esiste secondo definizione di un aperto ricavato da una base.

Edit: Ho accorciato perché se no c'era troppo caos. Va bene la dimostrazione?

[regim]

La prima e la seconda sono equivalenti in qualsiasi topologia, una formulazione molto utile, anche questa equivalente alle altre in ogni topologia, e' quella che prende in esame la chiusura di un insieme, per cui una funzione e' continua in uno spazio topologico X, se l'immagine della chiusura di un insieme A contenuto X, e' contenuta nella chiusura dell'immagine di A. La formulazione in termini $\epsilon-\delta$ richiede che entrambi gli spazi siano metrici e l'equivalenza si fonda sulla validita' del primo assioma di numerabilita'.

[5mrkv]

Ok. Mi sono accorto di un errore. Dato che \(x_{0}\in (a,b)\) allora
\[
\begin{split}
a& x_{0}-a&>0 \\
b&>x_{0} \\
b-x_{0}&>0 \Rightarrow \\
\delta&=\mbox{min}\{x_{0}-a,b-x_{0}\}
\end{split}
\]
ed anche sul libro si arriva allo stesso \(\delta\). Vorrei arrivare alla definizione tipo \(3\) per una funzione definita su un sottospazio topologico \(A\subset X\). Data la definizione del tipo \(2\) mi basta porre \(V_{\epsilon}=(f(x_{0})-\epsilon,f(x_{0})+\epsilon)\) ed esiste \(U \in T_{X}\) tale che \(f(x)\in V_{\epsilon}\) se \(x \in U\cap A\). So anche che esiste un insieme della base tale che \(x_{0}\in (a,b)\cap A\subset U \cap A\) ma come faccio da questo a ricavare un insieme del tipo \(U_{\delta}\)? Mi serve per concludere l'equivalenza delle tre proposizioni.

[regim]

Lo hai scritto appena sopra come fare, non serve altro, la dimostrazione e' corretta. Puoi, per esercizio, generalizzarla al caso di spazi metrici qualunque, magari non puoi utilizzare la funzione minimo come sopra, ma solo il fatto che se $x_o \in U$ con $U$ aperto, esiste un elemento della base centrato in $x_o$ di raggio $\delta$ contenuto interamente, previa eventuale intersezione, se si tratta di un sottospazio $A$ come hai scritto sopra.

[5mrkv]

Ma a cosa pongo uguale \(\delta\) nel terzo post? Vorrei arrivare alla definizione di limite, molto simile alla continuità in un sottospazio topologico. Ora, il limite è definito sui punti di accumulazione ma non ho capito perché. Ho pensato che se esiste il limite per un punto \(x_{0}\) allora questo è anche un punto di accumulazione.

Siano \(X,Y\) spazi topologici e sia \(A\subset X\) ed \(f:A\rightarrow Y\). Con \(x_{0}\) punto di accumulazione di \(A\) e \(\lambda \in Y\) si dice che \(\lambda\) è un limite di \(f\) per \(x\rightarrow x_{0}\) se
\[
\forall V \in T_{Y} \mbox{ t.c. } \lambda\in V \exists\ U\in T_{X} \mbox{ t.c. } x_{0}\in U \mbox{ e }fx\in V \forall x \in U\cap A-\{x_{0}\}
\]

Se dato \(x_{0}\in A\) e \(O \in T_{X}\) t.c. \(x_{0}\in O\) potessi trovare un elemento della base t.c. \(\lambda \in (a,b)\subset f(O)\) allora dalla definizione di limite ponendo \(V=(a,b)\) esisterebbe \(U \in T_{X}\) tale che \(f(U\cap A-\{x_{0}\})\subset (a,b)\) da cui seguirebbe \(U\cap A-\{x_{0}\}\subset O \cap A\) e \(U \cap A\subset O \cap A -\{x\}\neq \emptyset\) per cui \(x_{0}\in \mbox{D}(A)\). Mentre l'ultime parte funziona, non riesco a completare la prima.

[regim]

Sinceramente non ho capito, ma è noto che se una funzione è continua in uno spazio topologico lo è in qualunque restrizione del dominio considerato come sottospazio, questo è un teorema generale. L'equivalenza della continuità nella definizione generale con quella puntuale si dimostra pure in generale, rimane l'equivalenza con la continuità espressa in termini di epsilon-delta, e anche questa si dimostra in generale negli spazi metrici. Il limite è definito sui punti di accumulazione per definizione.

[5mrkv]

"regim":Sinceramente non ho capito, ma è noto che se una funzione è continua in uno spazio topologico lo è in qualunque restrizione del dominio considerato come sottospazio, questo è un teorema generale.

Ok. Ed è anche immediato da provare.

L'equivalenza della continuità nella definizione generale con quella puntuale si dimostra pure in generale, rimane l'equivalenza con la continuità espressa in termini di epsilon-delta, e anche questa si dimostra in generale negli spazi metrici.

Voglio dimostrare l'equivalenza fra continuità \(\epsilon-\delta\) e continuità del tipo \(2\) per funzioni definite su un sottospazio topologico nel caso di una base data dalla topologia dell'ordine.

Il limite è definito sui punti di accumulazione per definizione.

Ok ma c'è un motivo per cui la definizione è data per punti di accumulazione. Dato che in inglese sono noti come limit-points mi chiedo se non ci sia un legame diretto.

E' possibile allora che se \(f(x)\rightarrow \lambda\) per \(x\rightarrow x_{0}\) nel senso specificato sopra (senza però considerare esplicitamente \(x_{0}\) punto di accumulazione, perché non ne vedo il motivo) allora segue che \(x_{0}\) è un punto di accumulazione?

[regim]

La tua dimostrazione non fa una piega nel caso di R considerato come spazio metrico, ma se parli di topologia ordinata e basta, per cui è sufficiente nient'altro che una relazione d'ordine, la questione si complica, la presenza del delta farebbe supporre una qualche struttura, bisogna poter fare la differenza almeno, nella retta la topologia ordinata coincide con la topologia standard, e parlare di topologia ordinata o metrica non fa differenza, ma se parli di uno spazio topologico X, allora non saprei.
Se è possibile applicare la definizione di limite per cui la funzione tende a $\lambda$ $x_o$ è già di accumulazione, forse ti riferisci al sequence lemma credo, ma la situazione non è se il punto è di accumulazione, ma se esiste una successione che converga pur se il punto appartiene al derivato, la risposta è si negli spazi metrici.

[5mrkv]

"regim":La tua dimostrazione non fa una piega nel caso di R considerato come spazio metrico, ma se parli di topologia ordinata e basta, per cui è sufficiente nient'altro che una relazione d'ordine, la questione si complica, la presenza del delta farebbe supporre una qualche struttura, bisogna poter fare la differenza almeno, nella retta la topologia ordinata coincide con la topologia standard, e parlare di topologia ordinata o metrica non fa differenza, ma se parli di uno spazio topologico X, allora non saprei.

Per essere sicuri di capirci, quando scrivo: ma come faccio da questo a ricavare un insieme del tipo \(U_{\delta}\)? tu vuoi dire che un \(\delta\) tale che \(U_{\delta}=(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\) esiste ma non è immediato ricavarlo?

Se è possibile applicare la definizione di limite per cui la funzione tende a $\lambda$ $x_o$ è già di accumulazione, forse ti riferisci al sequence lemma credo, ma la situazione non è se il punto è di accumulazione, ma se esiste una successione che converga pur se il punto appartiene al derivato, la risposta è si negli spazi metrici, ovunque sia soddisfatto il primo assioma di numerabilità.

Quello che voglio dire é: date le seguenti proposizioni:

\(1.\) Siano \(X,Y\) spazi topologici e sia \(A\subset X\) ed \(f:A\rightarrow Y\). Con \(x_{0}\in X\) e \(\lambda \in Y\) vale
\[
\forall V \in T_{Y} \mbox{ t.c. } \lambda\in V \exists\ U\in T_{X} \mbox{ t.c. } x_{0}\in U \mbox{ e }fx\in V \forall x \in U\cap A-\{x_{0}\}
\]
2. \(x_{0}\in \mbox{D}(A)\)

Posso dimostrare che \(1\Rightarrow 2\) ?

[regim]

Considera le seguenti topologie:
$X={1,2,3}, \tau ={X,{1,2},{2},{2,3},{3}} $
$ Y ={1} $ topologia banale

La funzione costante definita su $A={2,3]$ $f:A \rightarrow Y$ poni ora $x_o = 3$ mi sembra che la funzione rispecchi l'espressione che hai dato, ma $3$ non è di accumuluazione per $A$.

[5mrkv]

Bravo, anche a me sembra vada bene Ora però non capisco proprio la richiesta. Per quale motivo \(x_{0}\) deve essere un punto di accumulazione nella definizione di limite? So che è una definizione è una definizione ma ci sarà pure un motivo per tale richiesta?

[regim]

La definizione storicamente è stata formulata negli spazi di Hausdorff, anche per quei punti che non sono nel dominio della funzione ma che sono comunque di accumulazione per lo stesso, ha senso chiedersi quindi a quale valore si avvicina la funzione quando il punto si avvicina al punto considerato nella definizione di limite. All'epoca in cui fu formulata la definizione la topologia non era nemmeno nata, o comunque non era sviluppata abbastanza, fu Leibniz il primo no? E nell'intorno di un punto di accumulazione ci sono sempre infiniti punti negli spazi T1.