[Continuità] Dubbio Spivak

[4mrkv]

Img Non non posso però verificare la continuità attraverso il limite nei punti isolati. Comunque, se \(a\) è isolato mi sembra che segua direttamente la continuità: se \(a \in O \in \tau_{X}\) e \((O\backslash \{a\} )\cap A=\emptyset\) allora \(\{a\}=O\cap A \in \tau_{A}\) e per ogni intorno \(f(a)\in V\in \tau_{Y}\) vale \(\{a\}\subset f^{-1}(V)\) verificando la continuità. Anche 1-3 Heine-Borel mi sembra un po' sintetico.

[j18eos]

...quale sarebbe la domanda?

[4mrkv]

Definisce la continuità attraverso il limite, ma non posso verificare in questo modo la continuità per i punti isolati, anche se mi sembra automatica. Non da quindi una definizione imprecisa?

[j18eos]

I limiti non sono calcolabili nei punti isolati, d'altronde i punti isolati non sono molto interessanti!

Ma siamo sicuri che la continuità nei punti isolati è automatica? Sono assalito dai dubbi...

[4mrkv]

"j18eos":I limiti non sono calcolabili nei punti isolati, d'altronde i punti isolati non sono molto interessanti!

Appunto per questo la definizione mi sembra incompleta.

[j18eos]

Mi sa che è sì incompleta come definizione... come in ogni testo che parla di continuità di funzioni mediante limiti!

[4mrkv]

Ad esempio? Sono andato a vedere sul Pagani-Salsa e sul Lanconelli e li fanno la distinzione. Anche il Rudin chiede espressamente che \(a\) sia un limit point.

[j18eos]

Io ho sempre letto definizioni in cui si parla di punti di accumulazione, senza alcun accenno ai punti isolati; d'altra parte: una funzione è sempre continua su ogni punto isolato del suo insieme di definizione!
Non c'è l'esigenza di ribadirlo ad ogni piè sospinto...

[regim]

Vacuamente verificata, in effetti un intorno di a potrebbe benissimo essere costituito dal solo a, il rudin espressamente definisce continua la funziona nei punti isolati. Cioe' io concordo sull'imprecisione. Quella buona che taglia la testa al toro e' quella data in topologia che si applica banalmente anche negli spazi metrici, spero di non aver detto corbellerie ciao