Continuità di una funzione
non so se è da postare in analisi o qui....in ogni caso è un esercizio dato dal mio prof di topologia..
sia $f:RR -> RR$ una funzione tale che $f(x)=0$ se $x$ è irrazionale e $f(x)=1/b$ se $x=a/b$ razionale ($a/b$ è la frazione ridotta ai minimi termini). Dimostrare che $f$ è continua in ogni punto irrazionale e discontina in ogni punto razionale
mi date qualche spunto? (non troppo esplicito please!)
la discontinuità nei punti razionali non è difficile da dimostrare: $f$ non è continua in $a/b$ perchè esiste un aperto $A$ contenente $1/b$ abbastanza piccolo da non contenere lo $0$, mentre in qualsiasi aperto contenente $a/b$ vi sono infiniti punti irrazionali, la cui immagine è $0$, per cui non esiste un aperto contenente $a/b$ nel quale la funzione si mantiene in $A$. è la continuità nei punti irrazionali che mi sta facendo dannare!
sia $f:RR -> RR$ una funzione tale che $f(x)=0$ se $x$ è irrazionale e $f(x)=1/b$ se $x=a/b$ razionale ($a/b$ è la frazione ridotta ai minimi termini). Dimostrare che $f$ è continua in ogni punto irrazionale e discontina in ogni punto razionale
mi date qualche spunto? (non troppo esplicito please!)
la discontinuità nei punti razionali non è difficile da dimostrare: $f$ non è continua in $a/b$ perchè esiste un aperto $A$ contenente $1/b$ abbastanza piccolo da non contenere lo $0$, mentre in qualsiasi aperto contenente $a/b$ vi sono infiniti punti irrazionali, la cui immagine è $0$, per cui non esiste un aperto contenente $a/b$ nel quale la funzione si mantiene in $A$. è la continuità nei punti irrazionali che mi sta facendo dannare!
Risposte
In pratica ti si chiede di mostrare che per ogni successione di numeri razionali (ridotti ai minimi termini) [tex](a_n/b_n)_n[/tex] (diciamo con [tex]b_n>0[/tex]) che tende ad un certo numero irrazionale [tex]t[/tex], la successione [tex](b_n)_n[/tex] tende ad infinito. Se questo non fosse vero l'insieme dei denominatori [tex]b_n[/tex] sarebbe finito...
[mod="Alexp"]
Ciao "bestiedda2", sei pregato di scrivere in modo corretto le formule come da regolamento...
Ora provvedo io a correggere, ma mi raccomando per il futuro!
[/mod]
Ciao "bestiedda2", sei pregato di scrivere in modo corretto le formule come da regolamento...
Ora provvedo io a correggere, ma mi raccomando per il futuro!
[/mod]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo