Continuità della funzione inversa
Ciao a tutti.
Vorrei sapere se la seguente proposizione è vera o falsa e conoscere la conseguente dimostrazione della sua verità/falsità.
Siano $S$ e $S'$ spazi topologici di Haussdorf, $A$ un aperto di $S$ e $f: A \to S$ iniettiva e continua. L'inversa $f^{- 1}: f(A) \to A$ di $f$ è pure continua.
Grazie per un eventuale aiuto...
Rodolfo
Vorrei sapere se la seguente proposizione è vera o falsa e conoscere la conseguente dimostrazione della sua verità/falsità.
Siano $S$ e $S'$ spazi topologici di Haussdorf, $A$ un aperto di $S$ e $f: A \to S$ iniettiva e continua. L'inversa $f^{- 1}: f(A) \to A$ di $f$ è pure continua.
Grazie per un eventuale aiuto...
Rodolfo
Risposte
Mi sembra che $S'$ sia irrilevante, no?
Ad ogni modo, $f^{-1}$ è continua se e solo se per ogni aperto $U\subseteq A$ si ha che $V=(f^{-1})^{-1}(U)$ è aperto in $f(A)$. Essendo $f$ iniettiva, $V=f(U)$. Questo dovrebbe farti sospettare che il claim sia falso, perchè $f$ non è relativamente aperta per ipotesi.
In effetti si può costruire un controesempio così: sia $X=\mathbb R$ con la topologia euclidea e $Y=\mathbb Q$ con la topologia discreta (tutti i sottoinsiemi sono aperti). Adesso sia $S$ l'unione disgiunta di $X$ ed $Y$. Gli aperti di $S$ sono tutti gli $U$ tali che $U\cap X$ è aperto in $X$ e $U\cap Y$ è aperto in $Y$. Dunque $Y$ è aperto in $S$, e chiaramente $S$ è Hausdorff. Adesso considera $f:Y\to S$ che manda $y\in Y$ in $y\in X$. Questa è ovviamente iniettiva ed è continua perchè $Y$ ha la topologia discreta. D'altronde ogni $\{y\}$ è aperto in $Y$, mentre la sua immagine non è aperta in $f(Y)\subseteq X$: per esserlo dovrebbe essere l'intersezione di un aperto di $S$ con $f(Y)$, ma un aperto di $S$ che contiene un punto di $X$ contiene anche tutto un suo intorno, e quindi ha intersezione infinita con $f(Y)$.
Ad ogni modo, $f^{-1}$ è continua se e solo se per ogni aperto $U\subseteq A$ si ha che $V=(f^{-1})^{-1}(U)$ è aperto in $f(A)$. Essendo $f$ iniettiva, $V=f(U)$. Questo dovrebbe farti sospettare che il claim sia falso, perchè $f$ non è relativamente aperta per ipotesi.
In effetti si può costruire un controesempio così: sia $X=\mathbb R$ con la topologia euclidea e $Y=\mathbb Q$ con la topologia discreta (tutti i sottoinsiemi sono aperti). Adesso sia $S$ l'unione disgiunta di $X$ ed $Y$. Gli aperti di $S$ sono tutti gli $U$ tali che $U\cap X$ è aperto in $X$ e $U\cap Y$ è aperto in $Y$. Dunque $Y$ è aperto in $S$, e chiaramente $S$ è Hausdorff. Adesso considera $f:Y\to S$ che manda $y\in Y$ in $y\in X$. Questa è ovviamente iniettiva ed è continua perchè $Y$ ha la topologia discreta. D'altronde ogni $\{y\}$ è aperto in $Y$, mentre la sua immagine non è aperta in $f(Y)\subseteq X$: per esserlo dovrebbe essere l'intersezione di un aperto di $S$ con $f(Y)$, ma un aperto di $S$ che contiene un punto di $X$ contiene anche tutto un suo intorno, e quindi ha intersezione infinita con $f(Y)$.
fantastico, grazie... bellissimo controesempio
Bell'esempio. Ce ne sono anche di più semplici. Qui ce n'è una carrellata:
https://math.stackexchange.com/q/68800/8157
https://math.stackexchange.com/q/68800/8157
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