Continuità del prodotto scalare
Dovrei dimostrare che il prodotto scalare è continuo (rispetto alla prima componente), mi potreste dire se questa va bene?
Sia $H$ uno spazio prehilbertiano e sia $\langle \cdot, \cdot \rangle$ il suo prodotto scalare. Sia $\{v_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset H$ una successione convergente a $v \in H$. Per dimostrare che il prodotto scalare è contonuo dovrei dimostrare che
$\lim_{n \to +\infty} \langle v_n, x \rangle = \langle v, x \rangle$
Dalla disuguaglianza di Schwarz $|\langle v_n - v, x \rangle| \le ||v_n - v|| \cdot ||x||$. Ma dato che $v_n \to v$ per $n \to +\infty$, allora passando al limite per $n \to +\infty$ il membro di destra si annulla, ottenendo
$\lim_{n \to +\infty} |\langle v_n - v, x \rangle| = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} \langle v_n - v, x \rangle = 0$
Dalla linearità del prodotto scalare rispetto alla prima componente si ha che
$\lim_{n \to +\infty} \langle v_n - v, x \rangle = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} \langle v_n, x \rangle - \langle v, x \rangle = 0$
ossia
$\lim_{n \to +\infty} \langle v_n, x \rangle = \langle v, x \rangle$
Funge?
Sia $H$ uno spazio prehilbertiano e sia $\langle \cdot, \cdot \rangle$ il suo prodotto scalare. Sia $\{v_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset H$ una successione convergente a $v \in H$. Per dimostrare che il prodotto scalare è contonuo dovrei dimostrare che
$\lim_{n \to +\infty} \langle v_n, x \rangle = \langle v, x \rangle$
Dalla disuguaglianza di Schwarz $|\langle v_n - v, x \rangle| \le ||v_n - v|| \cdot ||x||$. Ma dato che $v_n \to v$ per $n \to +\infty$, allora passando al limite per $n \to +\infty$ il membro di destra si annulla, ottenendo
$\lim_{n \to +\infty} |\langle v_n - v, x \rangle| = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} \langle v_n - v, x \rangle = 0$
Dalla linearità del prodotto scalare rispetto alla prima componente si ha che
$\lim_{n \to +\infty} \langle v_n - v, x \rangle = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} \langle v_n, x \rangle - \langle v, x \rangle = 0$
ossia
$\lim_{n \to +\infty} \langle v_n, x \rangle = \langle v, x \rangle$
Funge?
Risposte
Non va bene.
E menomale che esiste lo spoiler... 
Grazie amel (soprattutto per la rapidità!).
Grazie amel (soprattutto per la rapidità!).
anche secondo me è tutto corretto
Ok, grazie anche a te Pappus. 
In realtà hai mostrato che è lipshitziana rispetto alla prima variabile.. che è ben di più della semplice continuità
più brevemente: Sfruttando la linearità e poi Schwartz:
$AAv_1,v_2,w in H: |(v_1;w) - (v_2;w)|=|(v_1-v_2;w)|<=||w||*||v_1-v_2||$
Quindi il prodotto scalare è lipshitziano=>uniformemente continuo
più brevemente: Sfruttando la linearità e poi Schwartz:
$AAv_1,v_2,w in H: |(v_1;w) - (v_2;w)|=|(v_1-v_2;w)|<=||w||*||v_1-v_2||$
Quindi il prodotto scalare è lipshitziano=>uniformemente continuo
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