Consideriamo il Gruppo S5 (Gruppo simmetrico)
Ciao a tutti ragazzi, ho un dubbio.
Lavoriamo in $S_5$ gruppo simmetrico, consideriamo la permutazione $(12345)inS_5$ e prendiamo il sottogruppo da essa generato $H=<(12345)> ={(1), (12345), (13524), (14253), (15432)}$.
$H$ è sottogruppo normale in $S_5$?
Ho letto in internet che lo è, eppure non riesco a capire come possa esserlo, $H$ non è l' unico sottogruppo di ordine $5$ in $S_5$ ed inoltre se per esempio considero la permutazione $(12)inS_5$ allora banalmente $(12)(12345)(12)^(-1)$ $notinH$ dunque non è sottogruppo normale =/.
Vi prego ditemi dove sbaglio... =(
Lavoriamo in $S_5$ gruppo simmetrico, consideriamo la permutazione $(12345)inS_5$ e prendiamo il sottogruppo da essa generato $H=<(12345)> ={(1), (12345), (13524), (14253), (15432)}$.
$H$ è sottogruppo normale in $S_5$?
Ho letto in internet che lo è, eppure non riesco a capire come possa esserlo, $H$ non è l' unico sottogruppo di ordine $5$ in $S_5$ ed inoltre se per esempio considero la permutazione $(12)inS_5$ allora banalmente $(12)(12345)(12)^(-1)$ $notinH$ dunque non è sottogruppo normale =/.
Vi prego ditemi dove sbaglio... =(
Risposte
La sezione corretta per le domande sui gruppi sarebbe la sezione di algebra.
Detto questo \(\mathfrak{S}_5\) ha un solo sottogruppo normale: \(\mathfrak{A}_5\) (con la sola eccezione di \(\mathfrak{S}_4\) vale per ogni gruppo simmetrico). Qualsiasi libro o dispensa online che dica in contrario è sbagliata e dovresti evitarla. Hai comunque mostrato correttamente che quello NON è normale.
Detto questo \(\mathfrak{S}_5\) ha un solo sottogruppo normale: \(\mathfrak{A}_5\) (con la sola eccezione di \(\mathfrak{S}_4\) vale per ogni gruppo simmetrico). Qualsiasi libro o dispensa online che dica in contrario è sbagliata e dovresti evitarla. Hai comunque mostrato correttamente che quello NON è normale.
Grazie mille per la risposta, scusi se per l' errore della sezione non l' ho fatto intenzionalmente.
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