Conseguenza unicità inversa?

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sul mio testo di algebra lineare (lo Strang, esercizio 45 dei problemi 1.6) le seguenti espressioni delle inverse delle seguenti matrici $M$ e $B$ (ho rinominato rispetto al libro per chiarezza), dove con $\mathbf{u}$ indico una matrice $n×1$ e con $\mathbf{v}^T$ una matrice $1×n$ -lo Strang usa $M^T$ per la trasposta di $M$-:
$M=I_n-\mathbf{u}\mathbf{v}^T \Rightarrow M^-1=I_n+\frac{\mathbf{u}\mathbf{v}^T}{1-\mathbf{v}^T\mathbf{u}}$
e se $B=A-UW^-1V$, con $U$ matrice $n×m$, $V=V_{m×n}$, $W=W_{m×m}$ e $A=A_{n×n}$, allora \(B^{-1}=A^{-1}+A^{-1}U(W-VA^{-1}U)^{-1} VA^{-1}\).
Ora, è chiaro che questa espressione di $M^-1$ ha senso solo se $1-\mathbf{v}^T\mathbf{u}\ne 0$ ed è anche chiaro che $B^-1$ ha senso così espressa solo se $A$ e $W-VA^-1U$ sono invertibili.
Perdonate la mia stupidità, ma il fatto che $M$ e $B$ siano invertibili implica che $1-\mathbf{v}^T\mathbf{u}\ne 0$ e che esistano $A^-1$ e \((W-VA^{-1}U)^{-1}\)? Si può far discendere questo dall'unicità dell'inversa, visto che verificando* si vede effettivamente che $MM^-1=I_n=BB^-1$?
Grazie di cuore a tutti!!!


*Ovviamente l'ho fatto: $B^-1$ è quasi immediata, mentre nel primo caso ho semplicemente osservato che i coefficienti di posto $i,j$ di \((\mathbf{u}\mathbf{v}^T)^2\) sono gli stessi di $\mathbf{v}^T\mathbf{u}\mathbf{u}\mathbf{v}^T$, cioè $\sum_{k=1}^{n}u_i v_k u_k v_j$.

[DavideGenova1]

Mmh, conseguenza dell'unicità dell'inversa direi che non è, perché direi che l'inversa sarebbe comunque unica anche se definita diversamente nel caso che per esempio $A^-1$ o $W-VA^{-1}U$ non siano invertibili o che $\mathbf{v}^T\mathbf{u}=1$...
Tuttavia mi chiedo se $M=I-\mathbf{v}^T\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ potrebbe essere invertibile anche se $\mathbf{v}^T\mathbf{u}=1$ e se $B=A-UW^-1V$ potrebbe essere invertibile se non esistesse \((W-VA^{-1}U)^{-1}\)...