Cono, Conoscendo Eq Conica e vertice

[Bruno892]

Allora mi trovo in difficoltà con questo esercizio :

Ho la conica data dall'intersezione di una sfera con un piano:

Eq Sfera: $x^2+y^2+z^2-6x-4y-2z+6=0
Eq Piano: $z=1

Devo trovare il cono che proietta la Conica dall'Origine $O=(0,0,0)

Allora io pensavo di prendere un punto generico sulla conica e trovare la retta generica che passa per il vertice e la conica...

Ma Come trovo il punto generico di una conica in E3 ?


Grazie Infinite !

[mistake89]

Suppongo che cono che proietta la conica significhi il cono di vertice $V$ che abbia la conica come generatrice.
Se è così la tua idea è corretta. Prendi un punto $P$ sulla conica generico (ad esempio assegnando il parametro $t$ ad $x$ e ricavandoti $y$ in funzione di esso) e calcola la retta $[PV]$. Otterrai un luogo dipendente da $t$. Eliminando il parametro dalle equazioni otterrai l'equazione del tuo cono.

[Bruno892]

Non ho mai messo in parametrica un'equazione di secondo grado in 2 incognite... Come si fa ?

Scusate l'immensa ignoranza nei conti... Scusate Davvero...


Eq Sfera: $x2+y2+z2-6x-4y-2z+6=0
Eq Piano: $z=1

Cmq la tua supposizione è più che corretta, l'ho trovata anche io confusa, ma probabilmente è un'errata corrige sul tema d'esame

[mistake89]

La tua conica ha equazione $x^2+y^2-6x-4y+5=0$, che puoi riscrivere come $(x-3)^2+(y-2)^2=8$. Ora posto $x=t$ (e sapendo che $z=1$ per costruzione), ottieni $(t-3)^2+(y-2)^2=8$ ed isolando la $y$ dovresti ottenere $y=(2sqrt(2))/(t-2)+2$. Cioè un generico punto della conica ha coordinate $(t,(2sqrt(2))/(t-2)+2,1)$.

Ricontrolla i calcoli che io sono una frana

[Bruno892]

niente da fare... Non esce per niente...

Se può aiutare la soluzione è:

$x^2+y^2+5z^2-6xz-4yz=0