Cono circolare retto tagliato da un piano
Vi sottopongo il seguente quesito:
Un cono circolare retto ha l'altezza che misura 10 cm. Supponiamo di tagliarlo con un piano parallelo al piano di base in modo da ottenere 2 solidi di uguale volume.
Quanto dista il piano dal vertice del cono?
grazie in anticipo
Un cono circolare retto ha l'altezza che misura 10 cm. Supponiamo di tagliarlo con un piano parallelo al piano di base in modo da ottenere 2 solidi di uguale volume.
Quanto dista il piano dal vertice del cono?
grazie in anticipo
Risposte
Bello il problema, ti seguo volentieri, ma il regolamento impone che sia tu a cominciare a tirar fuori le idee...
Bene. Ovviamente la distanza cercata è maggiore di 5cm e minore di 10cm.
Ho provato a considerare i due volumi del nuovo cono e del tronco di cono sottostante: tali due volumi devono essere uguali tra loro e pari alla metà del cono originario.
Il problema è che figurano 3 incognite (raggio R dell'area di base del cono originario, raggio r dell'area di base del nuovo cono e altezza h dal vertice) e mi manca una equazione.
Ho provato a considerare i due volumi del nuovo cono e del tronco di cono sottostante: tali due volumi devono essere uguali tra loro e pari alla metà del cono originario.
Il problema è che figurano 3 incognite (raggio R dell'area di base del cono originario, raggio r dell'area di base del nuovo cono e altezza h dal vertice) e mi manca una equazione.
Allora uguagliando i due volumi verrebbe (consideriamo x l'altezza del tronco di cono)
$V_(cono)=1/3pi*r^2*(10-x)$
$V_(tronco di cono)=1/3pi*x*(R^2+Rr+r^2)$
$r^2(10-x)=x(R^2+Rr+r^2)$
direi che sei arrivato fino qui, giusto?
Spero di non aver sbagliato niente...
$V_(cono)=1/3pi*r^2*(10-x)$
$V_(tronco di cono)=1/3pi*x*(R^2+Rr+r^2)$
$r^2(10-x)=x(R^2+Rr+r^2)$
direi che sei arrivato fino qui, giusto?
Spero di non aver sbagliato niente...
Il volume del cono è 4/3, non 1/3
in piu' sappiamo che i due volumi, oltre che essere uguali, sono anche la metà del volume del cono originario
in piu' sappiamo che i due volumi, oltre che essere uguali, sono anche la metà del volume del cono originario
scusami, ieri sera ero cotto
il volume del cono è ovviamente un terzo di quello del cilindro
il volume del cono è ovviamente un terzo di quello del cilindro
Ti sei confuso con la sfera eh?
si, ero proprio stanco.
Comunque non riesco a vedere una possibile continuazione, ci sono troppe incognite.
Comunque non riesco a vedere una possibile continuazione, ci sono troppe incognite.
Allora... ragiono con te perchè la soluzione non ce l'ho.
Di solito faccio così, dimmi se ti sembra sensato, immagino di risolvere materialmente il problema, cioè di avere effettivamente un cono alto effettivamente 10 cm e di tagliarlo. Dato un ben determinato cono alto 10cm effettivamente esiste una ben determinata latezza a cui tagliarlo per ottenere due solidi equivalenti, ma se cambia il raggio di base questo influisce sull'altezza a cui tagliare il cono? Immaginiamo di stringere e allargare il nostro cono come variano i volumi dei due solidi, varia il loro rapporto?
Di solito faccio così, dimmi se ti sembra sensato, immagino di risolvere materialmente il problema, cioè di avere effettivamente un cono alto effettivamente 10 cm e di tagliarlo. Dato un ben determinato cono alto 10cm effettivamente esiste una ben determinata latezza a cui tagliarlo per ottenere due solidi equivalenti, ma se cambia il raggio di base questo influisce sull'altezza a cui tagliare il cono? Immaginiamo di stringere e allargare il nostro cono come variano i volumi dei due solidi, varia il loro rapporto?
"chess71":
si, ero proprio stanco.
Comunque non riesco a vedere una possibile continuazione, ci sono troppe incognite.
Fermi tutti, quali incognite ?
Due solidi che sono simili, cioè uno è lo "zoom" dell'altro, hanno il rapporto dei volumi uguale al cubo del rapporto della dimensioni.
Cioè se ad esempio ho un oggetto, mettiamo un bicchiere, e ho un altro bicchiere alto la metà, il rapporto dei volumi (e del peso) è 1/8, cioè 1/2 al cubo.
Questo vale per tutti i solidi simili.
Ora il nostro cono lo tagliamo ad una frazione della sua altezza, diciamo $h'$. Quindi, il rapporto dei volumi è $((h')/h)^3$. Se ora imposti una semplice equazione (in base al problema) hai il risultato voluto.
Grande!
Grazie a tutti
Grazie a tutti
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