Connessione tra Algebra Lineare e Geometria

[shinobi9]

Ciao!il titolo può sembrare strano ...quello che intendo è questo: quello che in algebra lineare si studia in riferimento agli spazi vettoriali (n-uple,funzioni,polinomi...) come si "trasporta" su un sistema di riferimento affine o cartesiano usando vettori geometrici come abbiamo sempre fatto dalle superiori? Cioè in sintesi la connessione tra geometria e algebra lineare è data dal fatto che c'è un " isomorfismo tra lo spazio vettoriale dei vettori geometrici ed R3 (che ci consente di identificare i vettori geometrici con terne delle coordinate sulla base del riferimento affine)" ?ovvero tutto quello che impariamo in algebra per R3 lo "convertiamo" per i vettori geometrici? Ovviamente non intendo dire che per i vettori geometrici non posso applicare gli aspetti dell'algebra..sono uno spazio vettoriale e quindi posso,ma non così agilmente come se ragiono in R3 ( ad esempio se ragionassi x i vettori geometrici la somma sarebbe solo grafica con il parallelogramma..) Me lo chiedo perché le prime volte che studiavo algebra il problema(e credo x molti) era mescolarla con la geometria..e penso sia un problema grave ma diffuso.però effettiavamente la connessione c'è...è rappresentata da questo isomorfismo?

Ad esempio: quando parliamo di applicazioni lineari tra spazi vettoriali..posso parlare di endomorfismi in R3 piuttosto che riferirmi allo spazio dei vettori geometrici..

Grazie

[pier.paolo15]

Gli spazi vettoriali, di cui si occupa l'algebra lineare, sono usati oggi in geometria come punto di partenza per definire strutture più complesse (spazi affini, euclidei e molto altro). Lo spazio dei vettori geometrici...appartiene alla geometria elementare, non ha alcun posto nella matematica moderna

[shinobi9]

Si ma in uno spazio euclideo per dire...che si usa tranquillamente in materie complesse come la meccanica dei continui...o mille altre,i vettori sono vettori geometrici (come i versori della base)..non so a cosa ti riferisci perché in ingegneria è pieno di esempi di utilizzo xD

[pier.paolo15]

Certo, nelle altre discipline spesso si continua a utilizzare la geometria elementare, decisamente più intuitiva. Gli spazi vettoriali sono una struttura algebrica costruita in modo tale da comportarsi esattamente come lo spazio dei vettori geometrici, e tramite essi si può ricostruire la geometria elementare in un contesto più rigoroso e generale. Forse ti starai chiedendo perché a ingegneria insegnano l'algebra lineare se poi nelle materie applicate si continua a lavorare al vecchio modo...è un mistero ancora tutto da svelare, me lo sono chiesto anch'io quando ho seguito i corsi di fisica!

[shinobi9]

Si effettivamente spazi vettoriali in senso più generale si incontrano raramente..ma anche in ingegneria devo dire che non mancano..le soluzioni per equazioni differenziali (a parte per chi le risolve meccanicamente) nascono dal vedere le equazioni come operatori differnenziali lineari tra spazi di funzione...e anche lo sviluppo in serie di fourier parte dagli spazi di funzioni e si trova proiettando su un sottospazio..frequene naturali come autovalori..però si gli utilizzi sono limitati