Connessione per archi

[Twister_1]

Ciao a tutti,

Avrei una domanda riguardante la connessione per archi che mi è sorta risolvendo un esercizio.
So che se $X=PcupQ$ dove $P,Q$ sono connessi per archi tali che $PcapQne O/$, allora $X$ risulta connesso per archi. Nel mio caso però ho che:

$X= uuu_{n in NN} (P_n cup Q_n)$ e ho dimostrato che $P_n cup Q_n $ è connesso per archi $AA n in NN$.

Qui arriva il mio dubbio:

Infatti per come sono definiti $P_n$ e $Q_n$ ho che $ nnn_{n in NN} (P_n cup Q_n) = O/$, ma $(P_n cup Q_n) cap (P_(n+1) cup Q_(n+1)) ne O/, AA n in NN$.

Questa seconda affermazione mi basta per affermare che $X$ è connesso per archi? Sono convinto che procedendo per induzione questo ragionamento sia valido, ma non ne sono certo.

Grazie mille a tutti

[Bremen000]

Dovrebbe essere vero. In realtà quello che ti interessa è: se $X$ è uno spazio topologico e \( \{A_n\}_{n \ge 1} \) è una successione di sottospazi di $X$ connessi per archi e $A_n \cap A_{n+1} \ne \emptyset$ per ogni $n \ge 1$, allora \( A := \cup_{n \ge 1} A_n \) è connesso per archi.

Definisci $B_k := \cup_{n=1}^k A_n$ e osserva che $\cup_{k \ge 1} B_k = A$. Ora dimostra per induzione che $B_k$ è connesso per archi per ogni $k \ge 1$. Poi osserva che $A_1 \subset B_k$ per ogni $k \ge 1$ e concludi.