Connessione ed intervalli aperti della retta reale

[Jerico1]

Ciao a tutti,
ho provato a dimostrare (senza successo) direttamente che un intervallo aperto di una retta reale dotata di topologia standard è connesso.

L'impostazione adottata è la seguente:
Per assurdo ipotizzo che l'intervallo $(a,b) \in \R$ sia sconnesso (quindi esistono 2 aperti non vuoti che costituiscono partizione di $(a,b)$ )

Da qui vorrei trovare un assurdo, ma non ci riesco.

Intuitivamente l'idea sarebbe di dimostrare che esiste un punto $\in (a,b)$ ma non appartenente a nessuno dei due aperti,
ad es. $(a,b) = (a,d) \cup (d,b)$ e dimostrare che $d\in(a,b)$ ma $d$ non appartiene a $(a,d)$ e $d$ non appartiene a $(d,b)$

Però non mi convince: troppo specifico (dipende troppo da come scelgo i due aperti).

Qualcuno saprebbe aiutarmi?

Grazie in anticipo,
Jerico

[maurer]

Lo so già che non ti piacerà questa risposta... ma non potresti far vedere che è connesso per archi? Devi proprio soffrire fino in fondo ed applicare la definizione? Far vedere che è connesso per archi è un gioco da bambini (è convesso, quindi connesso per archi), e poi c'è un classico teorema che mostra che connessione per archi implica connessione...

[Jerico1]

Ciao,
innanzitutto grazie, in effetti quella che hai indicato è la via "classica" e seguirò il tuo consiglio.

Mi sarebbe piaciuto riuscire ad applicare un approccio diretto, dando sfogo al mio masochismo

Grazie ancora,
Jerico

[maurer]

Ok, allora proviamoci. Siano [tex]A,B[/tex] due aperti non vuoti tali che [tex]A \cap B = \emptyset[/tex] e [tex]A \cup B = (a,b)[/tex]. Fissa un punto [tex]x_0 \in A[/tex]. Siccome [tex]A[/tex] è aperto esiste [tex]\epsilon_0 > 0[/tex] tale che [tex](x_0 - \epsilon_0, x_0 + \epsilon_0) \subset A[/tex]. Sia [tex]\epsilon = \sup\{\overline{\epsilon} > 0 \mid (x_0 - \epsilon_0, x_0 + \overline{\epsilon}) \subset A\}[/tex]. L'insieme è ovviamente non vuoto perché vi appartiene [tex]\epsilon_0[/tex] ed è ovviamente limitato superiormente da [tex]b - x_0[/tex], quindi questo estremo superiore esiste effettivamente. Supponiamo per assurdo che [tex]x_0 + \epsilon \ne b[/tex]. Allora, essendo [tex]A[/tex] aperto dovrà succedere che [tex]x_0 + \epsilon \in B[/tex], perché ogni intorno destro di [tex]x_0 + \epsilon[/tex] dovrà contenere punti di [tex]B[/tex] per scelta del nostro [tex]\epsilon[/tex]; d'altra parte ogni intorno sinistro di [tex]x_0 + \epsilon[/tex] contiene punti di [tex]A[/tex], quindi siccome [tex]B[/tex] è aperto, non può essere [tex]x_0 + \epsilon \in B[/tex]! Assurdo. Quindi [tex]x_0 + \epsilon = b[/tex].
Analogamente mostri che [tex]\inf\{\overline{\epsilon} > 0 \mid (x_0 - \overline{\epsilon},x_0 + \epsilon_0) \subset A\} = a[/tex], e questo è un assurdo perché allora [tex]A = (a,b)[/tex], ossia [tex]B = \emptyset[/tex] contrariamente all'assunzione iniziale.

Ecco, poi non dite che non faccio ginnastica mattutina!

[Jerico1]

wow,Sei in gran forma!

Grazie mille!