Connessione e Compattezza di GLn(R) e SOn(R)
Ciao a tutti,
volevo chiedere se l'immagine di un non connesso/non compatto è sempre un non connesso/non compatto. Mi servirebbe saperlo per decidere se GLn, SOn sono connessi, cpmpatti e cpa.
Su wikipedia dice GLn è non connesso non compatto perchè controimmagine continua di R-(0), tramite la funzione det, che non è connesso e non compatto (questo mi farebbe intuire che ciò ch chiedevo è sempre vero).
SOn allora sarebbe connesso e compatto perchè controimmagine di (1), tramite det, che è connesso e compatto; ma è cpa?
Grazie a tutti.
volevo chiedere se l'immagine di un non connesso/non compatto è sempre un non connesso/non compatto. Mi servirebbe saperlo per decidere se GLn, SOn sono connessi, cpmpatti e cpa.
Su wikipedia dice GLn è non connesso non compatto perchè controimmagine continua di R-(0), tramite la funzione det, che non è connesso e non compatto (questo mi farebbe intuire che ciò ch chiedevo è sempre vero).
SOn allora sarebbe connesso e compatto perchè controimmagine di (1), tramite det, che è connesso e compatto; ma è cpa?
Grazie a tutti.
Risposte
"Kif_Lame":No. Prendi il non connesso e non compatto $RR-{0}$ e applica la funzione continua $x \mapsto 0$.
volevo chiedere se l'immagine di un non connesso/non compatto è sempre un non connesso/non compatto.
"dissonance":No. Prendi il non connesso e non compatto $RR-{0}$ e applica la funzione continua $x \mapsto 0$.[/quote]
[quote="Kif_Lame"]volevo chiedere se l'immagine di un non connesso/non compatto è sempre un non connesso/non compatto.
allora non capisco come fa wikipedia a dire una cosa del genere, mi sembra fuorviante, ammesso che sia giusto.
forse volevi chiedere se la controimmagine di uno sconnesso è sconnessa (e idem per il compatto)
Su wikipedia dice GLn è non connesso non compatto perchè controimmagine continua di R-(0), tramite la funzione det, che non è connesso e non compatto (questo mi farebbe intuire che ciò ch chiedevo è sempre vero).
SOn allora sarebbe connesso e compatto perchè controimmagine di (1), tramite det, che è connesso e compatto; ma è cpa?
Wikipedia usa i seguenti teoremi (le dimostrazioni le ho scritte sul momento).
Thm. Sia $f : X -> Y$ una funzione continua e suriettiva tra spazi topologici. Se $Y$ è un insieme sconnesso, allora anche X è sconnesso.
Dim. Siano $A, B \subset Y$ due aperti disgiunti e non vuoti di $Y$ tali che $Y = A \cup B$. Le controimmagini $A' = f^{-1}(A)$ e $B' = f^{-1}(B)$ sono insiemi aperti non vuoti perché $f$ è suriettiva e continua. Inoltre $X = f^{-1}(Y) = f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) = A' \cup B'$. Resta allora solo da dimostrare che sono disgiunti. Supponiamo per assurdo che esista un elemento $x \in A' \cap B'$. La sua immagine $f(x)$ apparterrebbe allora ad $A \cap B$ che è assurdo perché abbiamo richiesto che $A$ e $B$ fossero disgiunti.
Thm. Sia $f : X -> Y$ una funzione continua e suriettiva tra spazi topologici. Se $Y$ non è compatto allora non lo è neanche $X$.
Dim. Supponiamo per assurdo che $X$ sia compatto e consideriamo un rivestimento aperto ${ U_i }$ di $Y$. Ogni $U_i$ è cioè un aperto di $Y$ e la loro unione $\cup U_i = Y$. La collezione ${ f^{-1}(U_i) }$ è un rivestimento aperto di $X$ dal quale possiamo estrarre un sottoricoprimento finito ${ V_j }$. Voglio quindi dimostrare che ${ f(V_j) }$ è un sottoricoprimento finito di ${ U_i }$. Ma questo è ovvio per costruzione, essendo $f(V_j) = U_i$ per ogni $j$ e per valori opportuni di $i$ e la collezione ${ f(V_j) }$ finita. Ma allora, per ogni ricoprimento aperto di $Y$ abbiamo trovato un sottoricoprimento finito contro l'ipotesi che $Y$ non sia compatto.
Siccome $\RR - {0}$ non è né connesso né compatto, la controimmagine attraverso la funzione $\det$, $GL(n, \RR)$, deve essere sconnessa e non compatta. $SO(n, \RR)$ è invece sia connessa che compatta per teoremi simili che affermano che la controimmagine di un connesso è connessa e la controimmagine di un compatto è compatta. Le dimostrazioni sono in effetti analoghe a quelle presentare in questo post. C'è ancora qualcosa che non ti è chiaro?
"apatriarca":C'è ancora qualcosa che non ti è chiaro?
Innanzitutto grazie per l'aiuto.
Ti sottopongo a verifica due dimostrazioni di connessione.
Suppongo GLn conesso quindi uso la funzione det che è continua che mi manda connessi in connessi, ma det(GLn)=R-(0) che non è connesso di qui l'assordo.
Suppongo On connesso, ma On=On(-) U SOn che sono aperti chiusi allora questa è una disconnessione di On, di qui l'assurdo.
Ora non riesco a dimostrare che SOn sia connesso ed anche cpa, quest'ultima mi hanno detto che si dimostra con l'algebra di Lie..
Che cosa intendi con cpa? Connesso per archi?
"apatriarca":
Che cosa intendi con cpa? Connesso per archi?
si scusami!
Non ho mai dimostrato direttamente la connessione per archi di $SO(n)$ senza usare le algebre di Lie. Ma vedo di provarci in questo post.
$SO(2)$ è connesso per archi in modo ovvio essendo omeomorfo a $S^1$ (la circonferenza). Supponiamo quindi che il teorema sia valido per $SO(n-1)$ e lo vogliamo provare per $SO(n)$ con $n > 2$. È sufficiente trovare un cammino continuo tra l'identità e una qualsiasi altra matrice $R \in SO(n)$. Per connettere due matrici $A$ e $B$ sarà allora possibile creare un cammino connettendo un cammino da $A$ a $I$ e da $I$ a $B$. Ad ogni matrice $R \in SO(n)$ corrisponde la base ortonormale con orientamento positivo ${ Re_i }_{1 <= i <= n}$ (le colonne di $R$) e ogni cammino continuo $\phi$ da $\phi(0) = I$ a $\phi(1) = R$ corrisponde a $n$ cammini $\phi(t)e_i$ in $R^{n}$ da ${ e_i }_{1 <= i <= n}$ a ${ Re_i }_{1 <= i <= n}$ tali che $<\phi(t)e_i, \phi(t)e_j> = \delta_{i,j}$ per ogni $t$. Consideriamo $e_1$ e $Re_1$. Se i due vettori sono uguali, allora possiamo considerare l'iperspazio di $RR^n$ perpendicolare a $e_1$ e considerare un cammino continuo dei restanti vettori della base. Questo cammino esisterà per ipotesi induttiva. Se questi due vettori sono disgiunti esisterà un piano che li contiene e possiamo quindi muovere in modo continuo $e_1$ fino a raggiungere $Re_1$ attraverso una rotazione del piano. A questo punto $e_1$ avrà raggiunto la posizione definitiva ed è sufficiente applicare a questo punto una rotazione nell'iperpiano perpendicolare a $Re_1$.
Suppongo che ci siano dei dettagli da mettere a posto ma credo che il metodo sia corretto. Fammi sapere se hai dubbi o c'è qualcosa che non ti è chiaro.
$SO(2)$ è connesso per archi in modo ovvio essendo omeomorfo a $S^1$ (la circonferenza). Supponiamo quindi che il teorema sia valido per $SO(n-1)$ e lo vogliamo provare per $SO(n)$ con $n > 2$. È sufficiente trovare un cammino continuo tra l'identità e una qualsiasi altra matrice $R \in SO(n)$. Per connettere due matrici $A$ e $B$ sarà allora possibile creare un cammino connettendo un cammino da $A$ a $I$ e da $I$ a $B$. Ad ogni matrice $R \in SO(n)$ corrisponde la base ortonormale con orientamento positivo ${ Re_i }_{1 <= i <= n}$ (le colonne di $R$) e ogni cammino continuo $\phi$ da $\phi(0) = I$ a $\phi(1) = R$ corrisponde a $n$ cammini $\phi(t)e_i$ in $R^{n}$ da ${ e_i }_{1 <= i <= n}$ a ${ Re_i }_{1 <= i <= n}$ tali che $<\phi(t)e_i, \phi(t)e_j> = \delta_{i,j}$ per ogni $t$. Consideriamo $e_1$ e $Re_1$. Se i due vettori sono uguali, allora possiamo considerare l'iperspazio di $RR^n$ perpendicolare a $e_1$ e considerare un cammino continuo dei restanti vettori della base. Questo cammino esisterà per ipotesi induttiva. Se questi due vettori sono disgiunti esisterà un piano che li contiene e possiamo quindi muovere in modo continuo $e_1$ fino a raggiungere $Re_1$ attraverso una rotazione del piano. A questo punto $e_1$ avrà raggiunto la posizione definitiva ed è sufficiente applicare a questo punto una rotazione nell'iperpiano perpendicolare a $Re_1$.
Suppongo che ci siano dei dettagli da mettere a posto ma credo che il metodo sia corretto. Fammi sapere se hai dubbi o c'è qualcosa che non ti è chiaro.
"apatriarca":
Non ho mai dimostrato direttamente la connessione per archi di $SO(n)$ senza usare le algebre di Lie.
Forse mi sono spiegato male, vorrei vedere la dimostrazione con l'algebra di lie se possibile.
"apatriarca":
$SO(2)$ è connesso per archi in modo ovvio essendo omeomorfo a $S^1$ (la circonferenza)
Questo mi interessera. Io so che la somma di angoli nel cerchio corrisponde al prodotto di matrici in SOn, e ho un omomorfismo tra i due gruppi; ma come dimostro l'omeomorfismo tra SOn e Sn-1(sfera n-dimensionale)?
"Kif_Lame":
[quote="apatriarca"]$SO(2)$ è connesso per archi in modo ovvio essendo omeomorfo a $S^1$ (la circonferenza)
Questo mi interessera. Io so che la somma di angoli nel cerchio corrisponde al prodotto di matrici in SOn, e ho un omomorfismo tra i due gruppi; ma come dimostro l'omeomorfismo tra SOn e Sn-1(sfera n-dimensionale)?[/quote]
Non si può dimostrare perché non è vero. Già solo $SO(3)$ non è omeomorfo alla sfera $S^2$ (è una varietà di dimensione $3$ mentre $S^2$ ha dimensione $2$). È omeomorfo a $S^3 / ZZ_2 = RRP^3$. Per la dimostrazione con la teoria dei gruppi di Lie ho bisogno di raccogliere un po' le idee per presentarle in modo semplice e sintetico.
"apatriarca":
Per la dimostrazione con la teoria dei gruppi di Lie ho bisogno di raccogliere un po' le idee per presentarle in modo semplice e sintetico.
ok non preoccuparti allora. rifletto su ciò che hai scritto.
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