Connessione delle palle in uno spazio metrico
Salve a tutti.
Ho un dubbio. Stavo tentando di dimostrare il fatto intuitivamente ovvio che se $(X,d)$ è uno spazio metrico, $\Omega \subseteq X$ ed esiste un punto $x\in \text{Int}(\Omega)$, allora si ha $d(x, \partial \Omega)\le d(x, \text{Int}(X\setminus \Omega))$. Se infatti fosse $d(x, \partial \Omega)\gt d(x, \text{Int}(X\setminus \Omega))$, allora esisterebbe un $y\in \text{Int}(X\setminus \Omega)$ tale che $d(x,y)\lt d(x, \partial \Omega)$. Ma allora la palla chiusa $B(x,d(x,y)]$ di centro $x$ e raggio $d(x,y)$ conterrebbe $x\in \text{Int}(\Omega)$, $y\in \text{Int}(X\setminus \Omega)$, ma non conterrebbe nessun punto di $\partial \Omega$, cosicché si avrebbe una partizione della palla data dagli aperti disgiunti e non vuoti $B(x,d(x,y)]\cap \text{Int}(\Omega)$ e $B(x,d(x,y)]\cap \text{Int}(X\setminus \Omega)$, il che sarebbe contraddittorio se valesse la connessione delle palle (aperte o chiuse) negli spazi metrici. Negli spazi normati sono sicuro che le palle siano connesse essendo convesse. Ma è vero anche negli spazi metrici?
Ringrazio fin d'ora chi vorrà rispondere. Ovviamente se avete suggerimenti o vie alternative per la dimostrazione che ho tentato, sono ben accetti. Ciao!
Ho un dubbio. Stavo tentando di dimostrare il fatto intuitivamente ovvio che se $(X,d)$ è uno spazio metrico, $\Omega \subseteq X$ ed esiste un punto $x\in \text{Int}(\Omega)$, allora si ha $d(x, \partial \Omega)\le d(x, \text{Int}(X\setminus \Omega))$. Se infatti fosse $d(x, \partial \Omega)\gt d(x, \text{Int}(X\setminus \Omega))$, allora esisterebbe un $y\in \text{Int}(X\setminus \Omega)$ tale che $d(x,y)\lt d(x, \partial \Omega)$. Ma allora la palla chiusa $B(x,d(x,y)]$ di centro $x$ e raggio $d(x,y)$ conterrebbe $x\in \text{Int}(\Omega)$, $y\in \text{Int}(X\setminus \Omega)$, ma non conterrebbe nessun punto di $\partial \Omega$, cosicché si avrebbe una partizione della palla data dagli aperti disgiunti e non vuoti $B(x,d(x,y)]\cap \text{Int}(\Omega)$ e $B(x,d(x,y)]\cap \text{Int}(X\setminus \Omega)$, il che sarebbe contraddittorio se valesse la connessione delle palle (aperte o chiuse) negli spazi metrici. Negli spazi normati sono sicuro che le palle siano connesse essendo convesse. Ma è vero anche negli spazi metrici?
Ringrazio fin d'ora chi vorrà rispondere. Ovviamente se avete suggerimenti o vie alternative per la dimostrazione che ho tentato, sono ben accetti. Ciao!
Risposte
Mi sono un po' perso nel procedimento, ma su spazi metrici qualsiasi le palle potrebbero non essere connesse. Anzi, qualunque spazio metrico sconnesso ha palle sconnesse.
Esempi:
In topologia discreta le palle di raggio più grande di $1$ sono sconnesse.
Prendi una successione convergente (non definitivamente costante) in uno spazio metrico connesso e considera $X$ lo spazio dato dalla successione unita al suo limite. Qualunque palla centrata nel limite è sconnessa.
In $\RR^n$ basta prendere una qualsiasi unione disgiunta!
Esempi:
In topologia discreta le palle di raggio più grande di $1$ sono sconnesse.
Prendi una successione convergente (non definitivamente costante) in uno spazio metrico connesso e considera $X$ lo spazio dato dalla successione unita al suo limite. Qualunque palla centrata nel limite è sconnessa.
In $\RR^n$ basta prendere una qualsiasi unione disgiunta!
Ti ringrazio per la risposta Pappappero.
Ti chiederei però di spiegarmi un po' meglio gli esempi che hai fatto, per favore. Intanto per topologia discreta intendi quella indotta da una metrica discreta del tipo $d(x,x)=0$, $d(x,y)=1$ per ogni $x\ne y$?
E nel secondo esempio deduco solo che il limite è un punto di accumulazione per la successione, ma da qui come deduco la sconnessione delle palle in $X$??
Ti chiederei però di spiegarmi un po' meglio gli esempi che hai fatto, per favore. Intanto per topologia discreta intendi quella indotta da una metrica discreta del tipo $d(x,x)=0$, $d(x,y)=1$ per ogni $x\ne y$?
E nel secondo esempio deduco solo che il limite è un punto di accumulazione per la successione, ma da qui come deduco la sconnessione delle palle in $X$??
La topologia discreta è quella indotta dalla metrica discreta. In quella topologia ogni sottoinsieme è aperto (e dunque ogni sottoinsieme è chiuso). In particolare le palle che non contengono un solo punto (quindi quelle con raggio più grande di $1$, che quindi contengono tutto lo spazio) sono sconnesse.
Per quanto riguarda la successione, indichiamo con $x_n$ i punti della successione, con $y$ il limite e con $X$ l'insieme dato dalla successione unita al suo limite. Prendiamo $B_y(r)$, palla di centro $y$ e raggio $r$. Per definizione di limite quella palla contiene almeno un altro punto della successione (li contiene tutti da un certo $n$ in poi, quindi in particolare ne contiene un altro). Chiamiamo $x$ questo punto. Siccome la successione tende a $y$, $x$ non è punto di accumulazione (altrimenti avresti un'estratta che ci converge, in contraddizione con la convergenza a $y$). In particolare questo ti garantisce che esiste un intorno di $x$ in $X$ che contiene solo $x$. Prendi dunque in $B_y(r)$ gli insiemi $B_x(\epsilon/2)$ (che contiene solo $x$) che è una palla aperta e il complementare della sua chiusura $B_y(r) - \bar{B_x(\epsilon/2)}$, che è ancora aperto in quanto complementare di un chiuso. Eccoti una sconnessione di $B_y(r)$.
Ma in ogni caso di spazi metrici sconnessi ce ne sono tanti (qualunque sottospazio sconnesso di uno spazio metrico, ad esempio). In quei casi puoi sempre trovare palle sconnesse, basta prendere i raggi abbastanza grandi.
Per quanto riguarda la successione, indichiamo con $x_n$ i punti della successione, con $y$ il limite e con $X$ l'insieme dato dalla successione unita al suo limite. Prendiamo $B_y(r)$, palla di centro $y$ e raggio $r$. Per definizione di limite quella palla contiene almeno un altro punto della successione (li contiene tutti da un certo $n$ in poi, quindi in particolare ne contiene un altro). Chiamiamo $x$ questo punto. Siccome la successione tende a $y$, $x$ non è punto di accumulazione (altrimenti avresti un'estratta che ci converge, in contraddizione con la convergenza a $y$). In particolare questo ti garantisce che esiste un intorno di $x$ in $X$ che contiene solo $x$. Prendi dunque in $B_y(r)$ gli insiemi $B_x(\epsilon/2)$ (che contiene solo $x$) che è una palla aperta e il complementare della sua chiusura $B_y(r) - \bar{B_x(\epsilon/2)}$, che è ancora aperto in quanto complementare di un chiuso. Eccoti una sconnessione di $B_y(r)$.
Ma in ogni caso di spazi metrici sconnessi ce ne sono tanti (qualunque sottospazio sconnesso di uno spazio metrico, ad esempio). In quei casi puoi sempre trovare palle sconnesse, basta prendere i raggi abbastanza grandi.
Ok, grazie Pappappero, ora gli esempi mi sono più chiari. Adesso mi chiedo allora se usando la sconnessione delle palle si riesca a costruire un controesempio alla disuguaglianza che ho dimostrato prima. Finora mi è venuto in mente solo l'esempio della topologia discreta su $X=\{x,y\}$ e $\Omega=\text{Int}(\Omega)=\{x\}$,$X\setminus \Omega=\text{Int}(X\setminus \Omega)=\{y\}$, da cui $\partial \Omega=\emptyset$, quindi se si adotta la convenzione che $d(x,\emptyset)=+\infty$ si ha $+\infty=d(x, \partial \Omega) \gt d(x,\text{Int}(X\setminus \Omega))=1$. Ma si riesce a trovare un controesempio con $\partial \Omega \ne \emptyset$?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo