Connessione, connessione locale et dintorni
Di questo spazio si dice che abbia la proprietà di essere path connected ma non locally path connected.
Qualcuno ha idea di come si possa dimostrare questo fatto?
Altra cosa: del Topologist's sine si dice che è connesso, ma non localmente connesso né connesso per archi.
Sulla connessione dovrei esserci: se \(X\) è il grafico di quella funzione e \(Y = X \setminus \{(0,0)\}\), \(Y\) è connesso in quanto immagine continua di un connesso. Del resto si ha certamente che \(Y \subset X \subset \overline{Y}\), e quindi \(X\) è connesso per le proprietà di connessione delle chiusure.
Poi la discontinuità nell'origine mi fa saltare la possibilità di connetterlo per archi.
Ma sulla connessione locale? Se prendo intorni dell'origine nella topologia indotta, cioè \(B_{\epsilon}(0) \cap X\) con \(\epsilon >0\), come mostro che sono sconnessi? Potrei dire, per esempio, che non sono convessi: infatti se \(x,y \in B_{\epsilon}(0) \cap X\) con \(x \ne y\) e t.c. abbiamo la medesima ordinata, certamente la combinazione convessa di \(x,y\) non sta in \(B_{\epsilon}(0) \cap X\) (non sta nemmeno in \(X\))...?
Qualcuno ha idea di come si possa dimostrare questo fatto?
Altra cosa: del Topologist's sine si dice che è connesso, ma non localmente connesso né connesso per archi.
Sulla connessione dovrei esserci: se \(X\) è il grafico di quella funzione e \(Y = X \setminus \{(0,0)\}\), \(Y\) è connesso in quanto immagine continua di un connesso. Del resto si ha certamente che \(Y \subset X \subset \overline{Y}\), e quindi \(X\) è connesso per le proprietà di connessione delle chiusure.
Poi la discontinuità nell'origine mi fa saltare la possibilità di connetterlo per archi.
Ma sulla connessione locale? Se prendo intorni dell'origine nella topologia indotta, cioè \(B_{\epsilon}(0) \cap X\) con \(\epsilon >0\), come mostro che sono sconnessi? Potrei dire, per esempio, che non sono convessi: infatti se \(x,y \in B_{\epsilon}(0) \cap X\) con \(x \ne y\) e t.c. abbiamo la medesima ordinata, certamente la combinazione convessa di \(x,y\) non sta in \(B_{\epsilon}(0) \cap X\) (non sta nemmeno in \(X\))...?
Risposte
Supponi di prendere una palla centrata in $(1/3,1)$ di raggio $1/6+ epsilon$, toccheresti il punto $(1/2,1)$, riesci a trovare un cammino interno alla palla che arriva a quel punto?
Questi esercizi dipendono sempre da come uno definisce gli spazi... mi baso sul folklore.
Nessun intorno di un punto della forma $(0,x)$ nel pettine e' connesso per archi.
Per una ragione simile intorni dell'origine nel sin del top sono tutti sconnessi, perche' la curva "entra ed esce infinite volte da ogni palla centrata in $(0,0)$", cosicche' $S\cap B_\epsilon(0,0)$ e' fatto da $(0,0)$ e da un bel po' di segmentini da essa separati.
Nessun intorno di un punto della forma $(0,x)$ nel pettine e' connesso per archi.
Per una ragione simile intorni dell'origine nel sin del top sono tutti sconnessi, perche' la curva "entra ed esce infinite volte da ogni palla centrata in $(0,0)$", cosicche' $S\cap B_\epsilon(0,0)$ e' fatto da $(0,0)$ e da un bel po' di segmentini da essa separati.
"Maci86":
Supponi di prendere una palla centrata in $(1/3,1)$ di raggio $1/6+ epsilon$, toccheresti il punto $(1/2,1)$, riesci a trovare un cammino interno alla palla che arriva a quel punto?
Ok, ho afferrato l'idea.
"killing_buddha":
[...]
Per una ragione simile intorni dell'origine nel sin del top sono tutti sconnessi, perche' la curva "entra ed esce infinite volte da ogni palla centrata in $(0,0)$", cosicche' $S\cap B_\epsilon(0,0)$ e' fatto da $(0,0)$ e da un bel po' di segmentini da essa separati.
Capito. In realtà la mia idea di passare per la convessità è sbagliata perché la caratterizzazione \(\text{connessione} \Longleftrightarrow \text{convessità}\) vale solo per sottoinsiemi di \(\mathbb{R}\)... Quindi ho tirato una pistolettata.
Piu' in generale, dai 
la convessita' la puoi dire in spazi vettoriali topologici qualsiasi (che solo per abitudine sono reali o complessi: benvenuto -per esempio- nel folle reame dell'analisi p-adica!), oppure anche sulle varieta', dove invece dei segmenti enuncerai la condizione di convessita' con le curve geodetiche.
la convessita' la puoi dire in spazi vettoriali topologici qualsiasi (che solo per abitudine sono reali o complessi: benvenuto -per esempio- nel folle reame dell'analisi p-adica!), oppure anche sulle varieta', dove invece dei segmenti enuncerai la condizione di convessita' con le curve geodetiche.
"killing_buddha":
Piu' in generale, dai
Quindi, se ho capito bene, ci sono casi più generali in cui quella caratterizzazione è ancora valida?
Perché in \(\mathbb{R}^n\) vale un'implicazione sola; l'avevo soltanto supposto, ma in effetti è così (cfr. pag. 64, Corollario 4.11 di Topologia, Manetti).
Adesso torno a dare la cera e a togliere la cera
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