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Salve a tutti. Ho pensato di risolvere questo esercizio in questo modo, però non sono sicuro come l'ho fatto.
Provare che $X$ è connesso:
$X= {(x,y,z)\in RR^3: x^2+2y^2=3, z^2=(arctan(xy-1))^2}$
Allora pensavo di ragionarci in questo modo: In anzi tutto dividere in varie "parti" l'insieme X.
$X_1= {(x,y,z)\in RR^3: x^2+2y^2=3 }$
$X_2= {(x,y,z)\in RR^3;z=(arctan(xy-1)) }$
$X_3= {(x,y,z)\in RR^3;z=-(arctan(xy-1)) }$
Quindi $X = X_1 nn (X_2 uu X_3) = (X_1 nn X_2)uu (X_1 nn X_3)$
Costruisco questi applicazioni:
$f:RR^3rightarrow RR$ , definita da $f(x,y,z)=x^2+2y^2-3$. E' continua. Sia $Gamma_f$ il grafico di f che è omeomorfo con $RR_3$ che è connessa.
$g:RR^3 - {0}rightarrow RR$ , definita da $g(x,y,z)=arctan(xy-1)+z$. Anche questo è un applicazione continua. Denoto con $Gamma_g$ il grafico di g che è omeomorfo con $RR_3 - {0}$ che è connesso per archi quindi anche connesso .
$h:RR^3 - {0}rightarrow RR$ , definita da $h(x,y,z)=arctan(xy-1)-z$. Anche questo è un applicazione continua. Denoto con $Gamma_h$ il grafico di h che è omeomorfo con $RR_3 - {0}$ che è connesso per archi quindi anche connesso.
$X_1 nn X_2=(pm sqrt(3),pm frac{sqrt 3} {sqrt 2}, arctan( frac {3}{sqrt2}-1))$
$X_1 nn X_3=(pm sqrt(3),pm frac{sqrt 3} {sqrt 2}, -arctan( frac {3}{sqrt2}-1))$
$(X_1 nn X_2) nn (X_1 nn X_3)$ non è vuoto e poiché sono connesse allora anche la loro unione è connessa.
Se ho sbagliato mi potete dare una mano a risolvere questo tipo di esercizio.
Ciao e un grazie in anticipo.
Provare che $X$ è connesso:
$X= {(x,y,z)\in RR^3: x^2+2y^2=3, z^2=(arctan(xy-1))^2}$
Allora pensavo di ragionarci in questo modo: In anzi tutto dividere in varie "parti" l'insieme X.
$X_1= {(x,y,z)\in RR^3: x^2+2y^2=3 }$
$X_2= {(x,y,z)\in RR^3;z=(arctan(xy-1)) }$
$X_3= {(x,y,z)\in RR^3;z=-(arctan(xy-1)) }$
Quindi $X = X_1 nn (X_2 uu X_3) = (X_1 nn X_2)uu (X_1 nn X_3)$
Costruisco questi applicazioni:
$f:RR^3rightarrow RR$ , definita da $f(x,y,z)=x^2+2y^2-3$. E' continua. Sia $Gamma_f$ il grafico di f che è omeomorfo con $RR_3$ che è connessa.
$g:RR^3 - {0}rightarrow RR$ , definita da $g(x,y,z)=arctan(xy-1)+z$. Anche questo è un applicazione continua. Denoto con $Gamma_g$ il grafico di g che è omeomorfo con $RR_3 - {0}$ che è connesso per archi quindi anche connesso .
$h:RR^3 - {0}rightarrow RR$ , definita da $h(x,y,z)=arctan(xy-1)-z$. Anche questo è un applicazione continua. Denoto con $Gamma_h$ il grafico di h che è omeomorfo con $RR_3 - {0}$ che è connesso per archi quindi anche connesso.
$X_1 nn X_2=(pm sqrt(3),pm frac{sqrt 3} {sqrt 2}, arctan( frac {3}{sqrt2}-1))$
$X_1 nn X_3=(pm sqrt(3),pm frac{sqrt 3} {sqrt 2}, -arctan( frac {3}{sqrt2}-1))$
$(X_1 nn X_2) nn (X_1 nn X_3)$ non è vuoto e poiché sono connesse allora anche la loro unione è connessa.
Se ho sbagliato mi potete dare una mano a risolvere questo tipo di esercizio.
Ciao e un grazie in anticipo.
Risposte
Non c'ho capito molto, ma al posto degli [tex]$X_2$[/tex] (correggi; tasto modifica in alto a destra) potresti considerare il tuo [tex]$X_1$[/tex] come [tex]$Y$[/tex] e porre [tex]$Z=\{(x;y;z)\in\mathbb{R}^3\mid z=|\arctan(xy-1)|\}$[/tex]; studiare la loro connessione e provare a vedere se [tex]$Y\cap Z\not=\emptyset$[/tex]; se sono connessi ed è soddisfatta tale condizione extra hai la connessione, altrimenti ti sei solo esemplificata la vita. 
EDIT Corretti vari errori di battitura!
EDIT Corretti vari errori di battitura!
Da quello che capisco stai considerando che $ arctan u $ è omeomorfo con $u $ (per u positivo) e il valore assoluto considererebbe i due casi $X_2$ e $X_3$?
"j18eos":Credo che la vita sia in assoluto la cosa più difficile da esemplificare
altrimenti ti sei solo esemplificata la vita.
@mameas C'è stato un errore di battitura nello scrivere il codice LaTeX!
@Martino Evviva la vita!
@Martino Evviva la vita!
"mameas":
$f:RR^3rightarrow RR$ , definita da $f(x,y,z)=x^2+2y^2-3$. E' continua. Sia $Gamma_f$ il grafico di f che è omeomorfo con $RR_3$ che è connessa.
$g:RR^3 - {0}rightarrow RR$ , definita da $g(x,y,z)=arctan(xy-1)+z$. Anche questo è un applicazione continua. Denoto con $Gamma_g$ il grafico di g che è omeomorfo con $RR_3 - {0}$ che è connesso per archi quindi anche connesso .
$h:RR^3 - {0}rightarrow RR$ , definita da $h(x,y,z)=arctan(xy-1)-z$. Anche questo è un applicazione continua. Denoto con $Gamma_h$ il grafico di h che è omeomorfo con $RR_3 - {0}$ che è connesso per archi quindi anche connesso.
Forse è una banalità, ma non mi è chiaro come fai a dire a cosa sono omeomorfi i grafici delle 3 funzioni.
Allora ci ho ripensato un po' su e penso che l'esercizio e molto più facile dalla soluzione che ho proposto io. Infatti basta tener conto della Proposizione che dice: che se un'applicazione da un insieme connesso è continua allora anche il grafico è connesso. Cioè nel nostro caso abbiamo $f:{(x,y)inRR^2|x^2+2y^2=3}rightarrow arctan(xy-1)$ e visto che $arctan$ è una funzione continua e l'ellisse connesso, allora anche il grafico $Gamma_f:{(x,y,f(x,y))inRR^3|x^2+2y^2=3, f(x,y)=arctan(xy-1)}$ sarà connesso. Come si può vedere facilmente questo grafico rappresenta solo la "metà" di $X$ quello per $z$ positivo e in modo del tutto analogo si può dimostrare la connessione della parte per $z$ negativo. Poi $X$ e l'unione non disgiunta di queste due parti perciò $X$ è connesso.
Sì, così mi convince. L'altro modo non mi era chiarissimo, ma probabilmente funzionava pure.
Infatti, è questa la soluzione a cui pensavo!
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