Connessione
Qualcuno sa darmi una mano su questa domanda di geometria?
Sia X uno spazio topologico connesso e S un suo sottoinsieme. E' vero che X-Fr(S) è connesso? (Fr(S) è l'insieme dei punti di frontiera di S).
Purtroppo non riesco a dare la dimostrazione e non mi viene nemmeno un controesempio.. Magari è banale e non me ne rendo conto. Help me!
Grazie dell'attenzione
Sia X uno spazio topologico connesso e S un suo sottoinsieme. E' vero che X-Fr(S) è connesso? (Fr(S) è l'insieme dei punti di frontiera di S).
Purtroppo non riesco a dare la dimostrazione e non mi viene nemmeno un controesempio.. Magari è banale e non me ne rendo conto. Help me!
Grazie dell'attenzione
Risposte
l'esempio più banale possibile è una sfera A che contiene una sfera B: A\Fr(B) ovviamente è un aperto non connesso per archi, quindi è sconnesso
Per la cronaca.. Un aperto non connesso per archi (o cammini, è la stessa cosa giusto?) non è connesso?
Perchè io ho solo il teorema che mi dice che se X è connesso per cammini allora è connesso, ma non vale il viceversa.
Quindi uno spazio topologico aperto è connesso per cammini ses è connesso?
Ho capito bene?
Perchè io ho solo il teorema che mi dice che se X è connesso per cammini allora è connesso, ma non vale il viceversa.
Quindi uno spazio topologico aperto è connesso per cammini ses è connesso?
Ho capito bene?
no no assolutamente no.... la connessione non implica la connessione per archi...
"miuemia":
no no assolutamente no.... la connessione non implica la connessione per archi...
ad esempio in $RR^2$ il grafico della funzione $sin(1/x)$ unito la retta verticale $x=0$ è connesso, ma non
per archi.
P.s. Connesso + aperto -> connesso per archi
giusto... ne avevo in mente un altro... comnque rende l idea... però in altri ambienti la connessione è equivalente alla connessione per archi...vedi varietà differenziabili 
Non ho ben capito allora.. Quello che mi ha proposto Inmytime non è un controesempio giusto per il mio problema? Anch'io sapevo che la connessione non implicasse la connessione per archi, ma mi era venuto il dubbio che unito all'ipotesi che fosse anche aperto questo potesse accadere...
Se il controesempio non è esatto, qualcuno sa darmi una mano?
Se il controesempio non è esatto, qualcuno sa darmi una mano?
si vedi il $ps$ di uber... ma nelle tue ipotesi non c'era aperto...
"blunotte":
Per la cronaca.. Un aperto non connesso per archi (o cammini, è la stessa cosa giusto?) non è connesso?
Perchè io ho solo il teorema che mi dice che se X è connesso per cammini allora è connesso, ma non vale il viceversa.
Quindi uno spazio topologico aperto è connesso per cammini ses è connesso?
Ho capito bene?
uno spazio topologico aperto di $mathbb(R)^n$ è connesso per cammini se e solo se è connesso. comunque, anche se non è noto questo risultato, basta notare che gli insiemi non vuoti B e A\ad(B) (ad è l'aderenza) sono disgiunti e la loro unione coincide con A\Fr(B); inoltre, A (B) non contiene alcun punto dell'aderenza di B (A). per definizione quindi A\Fr(B) è sconnesso
sarebbe bello vedere la dim... che un
uno spazio topologico aperto di ℝn è connesso per cammini se e solo se è connesso
Ah ok, non avevo fatto caso al ps di uber!
Nel mio caso non c'era che X fosse aperto, ma mi basta un controesempio per poter dire che l'affermazione non è in generale valida.
Quello delle due sfere credo sia quindi che vada bene. L'unico problema è che in teoria dovrei saper rispondere al quesito non sapendo che connessione+aperto => connessione per archi!
Nel mio caso non c'era che X fosse aperto, ma mi basta un controesempio per poter dire che l'affermazione non è in generale valida.
Quello delle due sfere credo sia quindi che vada bene. L'unico problema è che in teoria dovrei saper rispondere al quesito non sapendo che connessione+aperto => connessione per archi!
Ho scritto mentre postavate la risposta.. perciò leggo solo ora! Grazie mille!
"miuemia":
sarebbe bello vedere la dim... che ununo spazio topologico aperto T di ℝn è connesso per cammini se e solo se è connesso
la dimostrazione è bellina, e segue dal fatto che in $ℝ^n$ gli intorni sono convessi (quindi si puo estendere a spazi di questo tipo). è noto che una poligonale è un arco continuo. sia T connesso, e P un punto di T: indico con A l'insieme dei punti che possono essere congiunti a P tramite una poligonale contenuta in T. sia Q un punto di A, collegato a P da una poligonale j, e U una sua palla contenuta in T: facciamo vedere che U è contenuto in A, cioe che A è aperto. sia u un punto di U, il segmento Qu per la convessita sta tutto in U, quindi la poligonale j+Qu sta in T, cioe u appartiene ad A.
la relazione R(x,y) in T "x e y possono essere congiunti da una poligonale" è di equivalenza e per il risultato precedente induce una partizione in aperti di T. se sono aperti in $ℝ^n$, sono aperti anche in T nella topologia indotta dalle palle (T è aperto): ma T è connesso, quindi ogni sua partizione in aperti ha cardinalita uno. allora R(x,y) è vera in T.
Altro dubbio sulla connessione:
Sia f una funzione continua definita in X a valori in Y e sia S un sottoinsieme di X. Vale la seguente:
S connesso ses f(S) è connesso?
Si dimostra, anche facilmente, che se S è connesso allora anche f(S) è connesso. Il viceversa credo che valga solo se f è un omeomorfismo!
Sto quindi cercando un controesempio. Mi è venuta in mente f(x)=1/x. Se ad esempio considero f(S)=(-1,1) che è connesso allora S=(-inf,-1)U(1,+inf) è unione di due aperti disgiunti e quindi non è connesso.
Il mio dubbio è: posso considerare f(S)=(-1,1)? Forse non è corretto.. dovrei escludere lo 0? Se così fosse allora il controesempio non sarebbe efficace perchè ,escludendo lo 0, f(S) non sarebbe più connesso.
Se l'esempio è sbagliato, qualcuno sa darmi una mano?
Grazie per la disponibilità e scusate se i quesiti che vi pongo possano sembrare banali, ma geometria non è proprio la mia materia preferita!
Sia f una funzione continua definita in X a valori in Y e sia S un sottoinsieme di X. Vale la seguente:
S connesso ses f(S) è connesso?
Si dimostra, anche facilmente, che se S è connesso allora anche f(S) è connesso. Il viceversa credo che valga solo se f è un omeomorfismo!
Sto quindi cercando un controesempio. Mi è venuta in mente f(x)=1/x. Se ad esempio considero f(S)=(-1,1) che è connesso allora S=(-inf,-1)U(1,+inf) è unione di due aperti disgiunti e quindi non è connesso.
Il mio dubbio è: posso considerare f(S)=(-1,1)? Forse non è corretto.. dovrei escludere lo 0? Se così fosse allora il controesempio non sarebbe efficace perchè ,escludendo lo 0, f(S) non sarebbe più connesso.
Se l'esempio è sbagliato, qualcuno sa darmi una mano?
Grazie per la disponibilità e scusate se i quesiti che vi pongo possano sembrare banali, ma geometria non è proprio la mia materia preferita!
sì, dovresti escludere lo 0 perché non sta nell'immagine della funzione $1/x$
un controesempio lo puoi trovare con una qualunque funzione non iniettiva
te ne scrivo uno facile:
un controesempio lo puoi trovare con una qualunque funzione non iniettiva
te ne scrivo uno facile:
Mannaggia.. quando si tratta di trovare controesempi mi incarto sempre!! Comunque grazie, l'esempio di una funzione non iniettiva è perfetto!
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