Coniche proiettivo e proiettività

[Folpo13]

Buongiorno ho il seguente esercizio

Dato il fascio di coniche in $\mathbb{P}^2(RR)$ definito da

$(\lambda + \mu)X^2-\mu Y^2+2(\lambda+\mu)XZ+\lambda Z^2=0$

Trovare tutte le proiettività $\phi:\mathbb{P}^2(RR)->\mathbb{P}^2(RR)$ tali che $\phi(\mathcal{C})=\mathcal{C}$ per ogni $\mathcal{C}$ nel fascio e $\phi(\text{[0, 0, 1]} )=[0, 0, 1]$

Ora, io ho calcolato la matrice della conica generica del fascio che è

$A=((\lambda+\mu, 0, \lambda+\mu),(0,-\mu,0),(\lambda+\mu,0,\lambda))$

Ora so che se $P$ è la matrice della proiettività $\phi$ la terza colonna di $P$ sarà $((0, 0, 1))$ e poi ho la condizione $P^TAP = \alphaA$ per qualche $alpha\ne 0$.


Posto $P =((a, b, 0), (c, d, 0), (e, f, 1))$


Verificare a mano facendo tutti i calcoli della matrice $P^TAP$ mi è sembrato eccessivamente laborioso e mi ha fatto suscitare il dubbio che ci fosse qualche metodo più furbo che non riesco a vedere. C'è un modo per evitare tutti questi contacci?

[Folpo13]

Mentre scrivevo mi è venuta l'idea di sfruttare le coniche degeneri che sono
$Z+X=0$
E
$\{(Y=0),(Z=0):}$

In particolare il secondo mi dice che $\phi(\text{[1,0,0]}) = [1,0,0]$ eccetera...