Coniche proiettive: parabola
Ciao a tutti. ho un problema nello svolgere gli esercizi sulle parabole.
Data una parabola in coord affini per studiarla
1) trasformo le coord in coord proiettive
2) determino il punto improprio intersecando la conica con la retta impropria
3) determino l'asse considerando la polare per il punto improprio ($\lambda$, $\mu$, $0$) e imponendo sia ortogonale alla direzione ad essa coniugata.
4) determino il vertice intersecando conica e asse
E ora il PROBLEMA. Determinare FUOCO e DIRETTRICE
per determinare direttrice $d $ e fuoco $F$ = ($x_F$, $y_F$, $1$) ?
So che la direttrice è la polare del fuoco, quindi avevo pensato di scrivere d appunto come polare di F, e poi, sapendo che la parabola è il luogo dei punti equidistanti dalla direttrice e dal fuoco, preso un punto P della parabola imporre:
$d (P,d) = d (P, F)$ determino così le coordinate di $F$ e poi inserendole in $d$ determino la direttrice.
Ma nel seguire questo procedimento spesso mi blocco.
Mi chiedevo: si fa proprio così?
Il punto improprio trovato all'inizio non può servirmi a nulla nel determinare fuoco e direttrice? e l'asse si determina effettivamente così?
Spero di essermi spiegata bene.. altrimenti ditelo ke metto un esercizio..
vi prego.. aiutatemiiiiii
Data una parabola in coord affini per studiarla
1) trasformo le coord in coord proiettive
2) determino il punto improprio intersecando la conica con la retta impropria
3) determino l'asse considerando la polare per il punto improprio ($\lambda$, $\mu$, $0$) e imponendo sia ortogonale alla direzione ad essa coniugata.
4) determino il vertice intersecando conica e asse
E ora il PROBLEMA. Determinare FUOCO e DIRETTRICE
per determinare direttrice $d $ e fuoco $F$ = ($x_F$, $y_F$, $1$) ?
So che la direttrice è la polare del fuoco, quindi avevo pensato di scrivere d appunto come polare di F, e poi, sapendo che la parabola è il luogo dei punti equidistanti dalla direttrice e dal fuoco, preso un punto P della parabola imporre:
$d (P,d) = d (P, F)$ determino così le coordinate di $F$ e poi inserendole in $d$ determino la direttrice.
Ma nel seguire questo procedimento spesso mi blocco.
Mi chiedevo: si fa proprio così?
Il punto improprio trovato all'inizio non può servirmi a nulla nel determinare fuoco e direttrice? e l'asse si determina effettivamente così?
Spero di essermi spiegata bene.. altrimenti ditelo ke metto un esercizio..
vi prego.. aiutatemiiiiii
Risposte
Si dimostra che il fuoco dista 1/2a dal vertice, e sta sull'asse. Ho supposto che l'equazione della parabola fosse del tipo 2y=ax^2
e se ho una parabola del tipo $ a$$x^2$$+b$$y^2$$+cxy+dx+ey+1$?
La riporti in forma canonica: trovi $x$ unico autovalore non nullo di A' (matrice di p ristretta alla retta impropria), e dopo hai che $a= -\frac{x^{\frac{3}2}}{det A^{\frac{1}2}}$ ove A è la matrice della bilineare simmetrica associata alla parabola. Ciao
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