Coniche e quadriche
Buon giorno a tutti 
Sono abbastanza messo male per l'esame di Geometria (devo finire le coniche e le quadriche in 2 giorni, anche 48 ore
e so poco o niente).
Per le coniche ho solo i miei appunti e per le quadriche ho i miei appunti e questo file pdf (sono arrivato a fine pagina 4): http://www.diptem.unige.it/oneto/quadriche2005.pdf
Questi sono i compiti vecchi (2005)... So di chiedere tanto, ma non è che qualcuno mi aiuterebbe con questi due esercizi? Come si svolgono??? (è l'unico aiutone che vi chiedo
)
---------
Più che le soluzioni mi servirebbe il ragionamento logico
Ringrazio in anticipo.
Sono abbastanza messo male per l'esame di Geometria (devo finire le coniche e le quadriche in 2 giorni, anche 48 ore
e so poco o niente).Per le coniche ho solo i miei appunti e per le quadriche ho i miei appunti e questo file pdf (sono arrivato a fine pagina 4): http://www.diptem.unige.it/oneto/quadriche2005.pdf
Questi sono i compiti vecchi (2005)... So di chiedere tanto, ma non è che qualcuno mi aiuterebbe con questi due esercizi? Come si svolgono??? (è l'unico aiutone che vi chiedo
)---------
Più che le soluzioni mi servirebbe il ragionamento logico
Ringrazio in anticipo.
Risposte
Ho fatto i primi punti del primo esercizio, te li propongo perchè non so se ho tempo di fare gli altri e mi sembra che ne abbia bisogno (anche se in 48 ore la vedo davvero dura!)
Considera la matrice della quadrica generica del fascio $((2,1,0,1),(1,h,0,0),(0,0,3,0),(1,0,0,h))$. Io calcolerei il determinante e vedrei per quali $h$ si annulla, oppure, ancora meglio, preso un generico punto proprio $(a,b,c,1)$ imporrei che il piano polare di quest'ultimo non esista (essendo un cono) troverei in questo modo i possibili valori di $h$ ed il vertice.
In pratica svolgo questo calcolo: $((2,1,0,1),(1,h,0,0),(0,0,3,0),(1,0,0,h))((a),(b),(c),(1))=((0),(0),(0),(0))$
E se i calcoli non sono errati trovo due possibili soluzioni $h=0$ e $h=3$.
A questo punto sostituendo i valori nel fascio vado a studiare la conica assoluto, cioè l'intersezione con il piano $pi_infty$ con la quadrica. Ottengo nel primo caso $2x^2+2xy+3z^2=0$ e nel secondo caso $2x^2+2xy+2y^2+3z^2=0$, sono entrambe non degeneri quindi ci troviamo effettivamente in presenza di un cono.
Inoltre, puoi verificarlo, i punti sono parabolici.
Nel secondo punto (perdonami ma la forma canonica non l'ho calcolata per motivi di tempo), il centro è dato dall'intersezione dei piani polari di $X_infty,Y_infty,Z_infty$ cioè dalle soluzioni del sistema $\{(2x+y+1=0),(x=-y),(z=0):}$ e come soluzione dovresti avere $(-1,1,0)$
Più tardi arriva il terzo punto!
Il 4) punto puoi provare a farlo tu, basta conoscere la definizione di cono. Prendi il vertice (calcolato al punto 1)) e due qualsiasi punti del cono diversi da questo e calcola le rette $[VA]$ e $[VB]$, sicuramente sono contenute in $Q$
Considera la matrice della quadrica generica del fascio $((2,1,0,1),(1,h,0,0),(0,0,3,0),(1,0,0,h))$. Io calcolerei il determinante e vedrei per quali $h$ si annulla, oppure, ancora meglio, preso un generico punto proprio $(a,b,c,1)$ imporrei che il piano polare di quest'ultimo non esista (essendo un cono) troverei in questo modo i possibili valori di $h$ ed il vertice.
In pratica svolgo questo calcolo: $((2,1,0,1),(1,h,0,0),(0,0,3,0),(1,0,0,h))((a),(b),(c),(1))=((0),(0),(0),(0))$
E se i calcoli non sono errati trovo due possibili soluzioni $h=0$ e $h=3$.
A questo punto sostituendo i valori nel fascio vado a studiare la conica assoluto, cioè l'intersezione con il piano $pi_infty$ con la quadrica. Ottengo nel primo caso $2x^2+2xy+3z^2=0$ e nel secondo caso $2x^2+2xy+2y^2+3z^2=0$, sono entrambe non degeneri quindi ci troviamo effettivamente in presenza di un cono.
Inoltre, puoi verificarlo, i punti sono parabolici.
Nel secondo punto (perdonami ma la forma canonica non l'ho calcolata per motivi di tempo), il centro è dato dall'intersezione dei piani polari di $X_infty,Y_infty,Z_infty$ cioè dalle soluzioni del sistema $\{(2x+y+1=0),(x=-y),(z=0):}$ e come soluzione dovresti avere $(-1,1,0)$
Più tardi arriva il terzo punto!
Il 4) punto puoi provare a farlo tu, basta conoscere la definizione di cono. Prendi il vertice (calcolato al punto 1)) e due qualsiasi punti del cono diversi da questo e calcola le rette $[VA]$ e $[VB]$, sicuramente sono contenute in $Q$
ok, grazie mille
Che classificazione affine delle quadriche conosci?
"mistake89":
Che classificazione affine delle quadriche conosci?
Sinceramente non so cosa sia una classificazione affine...
comunque per i valori di h io ho trovato h=0 e h=1.
Sinceramente non so cosa sia una classificazione affine...[/quote]
intendi forse questa??
"shervin90":
[quote="mistake89"]Che classificazione affine delle quadriche conosci?
Sinceramente non so cosa sia una classificazione affine...
[/quote]intendi forse questa??
per quanto riguarda l'esercizio 1 al punto 1,c'è sicuramente un errore di calcolo:
i 2 valori di h sono 0 e 1,non 3 (per h=3 la quadrica non è degenere).
infatti il determinante della matrice si calcola facilmente e risulta essere $det = 6h*(h-1)$
per h = 0 la quadrica è un cono reale;
per h = 1 la quadrica è un cono immaginario;
per h = 3 la quadrica è un ellissoide immaginario.
i 2 valori di h sono 0 e 1,non 3 (per h=3 la quadrica non è degenere).
infatti il determinante della matrice si calcola facilmente e risulta essere $det = 6h*(h-1)$
per h = 0 la quadrica è un cono reale;
per h = 1 la quadrica è un cono immaginario;
per h = 3 la quadrica è un ellissoide immaginario.
"byob12":
per quanto riguarda l'esercizio 1 al punto 1,c'è sicuramente un errore di calcolo:
i 2 valori di h sono 0 e 1,non 3 (per h=3 la quadrica non è degenere).
infatti il determinante della matrice si calcola facilmente e risulta essere $det = 6h*(h-1)$
per h = 0 la quadrica è un cono reale;
per h = 1 la quadrica è un cono immaginario;
per h = 3 la quadrica è un ellissoide immaginario.
confermo. i valori di h risultano anche a me 0 e 1.
mi spiegheresti però la parte grassettata? cioè come hai fatto ad arrivarci
non dovrebbe essere per h=0 e h=1 un cono a falda immaginaria?
per h=3 poi non so...
Sì scusate devo aver fatto qualche errore di calcolo, grazie mille per la segnalazione.
"shervin90":
[quote="byob12"]per quanto riguarda l'esercizio 1 al punto 1,c'è sicuramente un errore di calcolo:
i 2 valori di h sono 0 e 1,non 3 (per h=3 la quadrica non è degenere).
infatti il determinante della matrice si calcola facilmente e risulta essere $det = 6h*(h-1)$
per h = 0 la quadrica è un cono reale;
per h = 1 la quadrica è un cono immaginario;
per h = 3 la quadrica è un ellissoide immaginario.
confermo. i valori di h risultano anche a me 0 e 1.
mi spiegheresti però la parte grassettata? cioè come hai fatto ad arrivarci
non dovrebbe essere per h=0 e h=1 un cono a falda immaginaria?
per h=3 poi non so...[/quote]
ho usato gli invarianti.
prima ho scritto la matrice associata,poi sapendo che si tratta di una conica degenere,ho calcolato il determinante della sottomatrice
$Q = [[2,1,0],[1,h,0],[0,0,3]]$
in entrambi i casi di h=0 e h=1; nel primo caso det(Q)=-3;nel secondo caso det(Q)=3.
essendo $det(Q)!=0$ in entrambi i casi,allora sono sicuramente dei coni.
per sapere se sono coni reali o immaginari devi valutare il segno degli autovalori di Q:se sono tutti e 3 concordi allora è un cono immaginario,altrimenti si tratta di un cono reale.
nota:non occorre calcolare gli autovalori ma solo sapere di che segno sono!
inoltre ti faccio notare che per stabilire se una quadrica ha centro basta guardare il valore di det(Q):se $det(Q)!=0$ allora si tratta di una quadrica con centro (sia che si tratti di una quadrica degenere o non degenre).
nel caso di h=1 si ha un cono immaginario,ma ti ricordo che i coni immaginari hanno un punto reale che è il vertice (che è il centro della quadrica) e in questo caso ha coordinate V=(-1,1,0)
ti basta sostituire le coordinate di V nell'equazione della quadrica e verifichi facilmente che V $in$ cono ed essendo una quadrica con 1 solo punto reale,tale punto è proprio quello cercato.
nel caso di h=1 si ha un cono immaginario,ma ti ricordo che i coni immaginari hanno un punto reale che è il vertice (che è il centro della quadrica) e in questo caso ha coordinate V=(-1,1,0)
ti basta sostituire le coordinate di V nell'equazione della quadrica e verifichi facilmente che V $in$ cono ed essendo una quadrica con 1 solo punto reale,tale punto è proprio quello cercato.
"byob12":
ho usato gli invarianti.
prima ho scritto la matrice associata,poi sapendo che si tratta di una conica degenere,ho calcolato il determinante della sottomatrice
$Q = [[2,1,0],[1,h,0],[0,0,3]]$
in entrambi i casi di h=0 e h=1; nel primo caso det(Q)=-3;nel secondo caso det(Q)=3.
essendo $det(Q)!=0$ in entrambi i casi,allora sono sicuramente dei coni.
per sapere se sono coni reali o immaginari devi valutare il segno degli autovalori di Q:se sono tutti e 3 concordi allora è un cono immaginario,altrimenti si tratta di un cono reale.
nota:non occorre calcolare gli autovalori ma solo sapere di che segno sono!
ok, chiarissimo... grazie
ma sono scarso anche nella terminologia: la differenza tra quadrica degenere e non degenere?
"shervin90":
la differenza tra quadrica degenere e non degenere?
Le quadriche degeneri hanno curvatura gaussiana nulla.
Per identificare se una quadrica è degenere devi scrivere la matrice associata e calcolarne il determinante:se è 0 allora si tratta di una quadrica degenere.
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