Coniche e punti di $P^5(RR)$
Ecco un altro esercizio carino...
Sia $C$ l'insieme delle coniche del piano proiettivo, $P^5(RR)$ il proiettivo punteggiato di dimensione $5$
Si consideri la funzione:
$f$:$C->P^5(RR)$ che alla conica di equazione $ax_0^2+2bx_0x_1+2cx_0x_2+dx_1^2+2ex_1x_2+gx_2^2=0$ (nel riferimento canonico) associa il punto di coordinate omogenee $((a),(b),(c),(d),(e),(g))$ in $P^5(RR)$
Sia $C_0$ il sottoinsieme di $C$ formato dalle coniche degeneri del piano proiettivo: dimostrare che $f(C_0)$ è un chiuso di $P^5(RR)$
Sia $C$ l'insieme delle coniche del piano proiettivo, $P^5(RR)$ il proiettivo punteggiato di dimensione $5$
Si consideri la funzione:
$f$:$C->P^5(RR)$ che alla conica di equazione $ax_0^2+2bx_0x_1+2cx_0x_2+dx_1^2+2ex_1x_2+gx_2^2=0$ (nel riferimento canonico) associa il punto di coordinate omogenee $((a),(b),(c),(d),(e),(g))$ in $P^5(RR)$
Sia $C_0$ il sottoinsieme di $C$ formato dalle coniche degeneri del piano proiettivo: dimostrare che $f(C_0)$ è un chiuso di $P^5(RR)$
Risposte
Up.
Suggerimento... L'antimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua è ancora un chiuso...
Suggerimento... L'antimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua è ancora un chiuso...
Ho un altro esercizio molto carino... Lo posto quì, evitando di aprire un altro topic...
Si trovi una formula ricorsiva che permetta di determinare l' $n$-esimo numero della successione di Fibonacci, usando tecniche di algebra lineare elementare (è sufficiente conoscere il prodotto tra matrici, saper calcolare la matrice inversa, il polinomio caratteristico e la potenza $n$-esima).
Buon divertimento!
Si trovi una formula ricorsiva che permetta di determinare l' $n$-esimo numero della successione di Fibonacci, usando tecniche di algebra lineare elementare (è sufficiente conoscere il prodotto tra matrici, saper calcolare la matrice inversa, il polinomio caratteristico e la potenza $n$-esima).
Buon divertimento!
Stai chiedendo una formula esplicita per determinare l'$n$-simo numero della successione di Fibonacci.
Una risposta è in una precedente discussione
http://www.matematicamente.it/forum/equazione-alle-differenze-t27530.html
Una risposta è in una precedente discussione
http://www.matematicamente.it/forum/equazione-alle-differenze-t27530.html
Con l'algebra lineare si può fare così:
$(x_n,x_{n-1})^t=A(x_{n-1},x_{n-2})^t$ ove $A^{(1)} = (1, 1), A^{(2)}=(1,0)$
(si osservi il caratteristico di A: $x^2-x-1$...)
$(x_n,x_{n-1})^t=A(x_{n-1},x_{n-2})^t$ ove $A^{(1)} = (1, 1), A^{(2)}=(1,0)$
(si osservi il caratteristico di A: $x^2-x-1$...)
Per il primo: sarà mica che il determinante è una funzione continua nelle a,b,...,f? 
"pic":
Con l'algebra lineare si può fare così:
$(x_n,x_{n-1})^t=A(x_{n-1},x_{n-2})^t$ ove $A^{(1)} = (1, 1), A^{(2)}=(1,0)$
(si osservi il caratteristico di A: $x^2-x-1$...)
Si, era questa l'idea... Per calcolare più agevolmente le potenze di $A$ si dovrebbe diagonalizzare la stessa...
"pic":
Per il primo: sarà mica che il determinante è una funzione continua nelle a,b,...,f?
Si.
Però non basta... Manca ancora qualcosa!
Ah sì? Eppure l'antimmagine di {0} è l'insieme cercato...
"pic":
Ah sì? Eppure l'antimmagine di {0} è l'insieme cercato...
Ecco, andava specificato... Io e te lo sappiamo, mentre c'è gente che potrebbe non capire...
$det:P^5(RR)->RR$ è una funzione continua nelle sue variabili.
${0}$ è un chiuso ed ha come antimmagine $f(C_0)$ rispetto a $det$: quindi $f(C_0)$ è chiuso.
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