Coniche e diagonalizzazione
Leggo su un testo che, data la conica: $X^TAX = 0$, se diagonalizzo la matrice A ottengo $Y^TDY = 0$.
In questo modo ho la stessa conica rappresentata in un sistema di riferimento in cui assume una forma "semplice".
Su questo non riesco a capire un passaggio.
Se diagonalizzo $A$ ho $A = P^(-1)DP$ (o esiste una diagonalizzazione che usa la trasposta?).
Sostituisco nella formula della conica:
$X^TP^(-1)DPX = 0$
Ora dovrei arrivare a $X^TP^(-1) = (PX)^T$ ma come?
So che la matrice è simmetrica, ma questo non saprei come sfruttarlo... In pratica $P$ dovrà risultare ortogonale, ma non posso supporlo a priori... mumble mumble....
In questo modo ho la stessa conica rappresentata in un sistema di riferimento in cui assume una forma "semplice".
Su questo non riesco a capire un passaggio.
Se diagonalizzo $A$ ho $A = P^(-1)DP$ (o esiste una diagonalizzazione che usa la trasposta?).
Sostituisco nella formula della conica:
$X^TP^(-1)DPX = 0$
Ora dovrei arrivare a $X^TP^(-1) = (PX)^T$ ma come?
So che la matrice è simmetrica, ma questo non saprei come sfruttarlo... In pratica $P$ dovrà risultare ortogonale, ma non posso supporlo a priori... mumble mumble....
Risposte
Hai intuito bene, $P$ deve essere ortogonale. E in effetti esiste il Teorema spettrale.
Se $A$ e' simmetrica, allora e' garantita l'esistenza di una matrice di autovettori $P$ ortogonale, ovvero $P^{-1}=P^{T}$. Questo ti risolve tutto
Se $A$ e' simmetrica, allora e' garantita l'esistenza di una matrice di autovettori $P$ ortogonale, ovvero $P^{-1}=P^{T}$. Questo ti risolve tutto
Non l'ho ancora visto il teorema spettrale: provvedo allora 
Grazie Steven!
Grazie Steven!
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