Coniche degeneri di un fascio

[sigma1]

Ciao a tutti.

Svolgendo un'esercizio sono arrivato al seguente fascio di coniche (gia' sviluppato):

$x^2(a+b) + ay^2 - 2bx -4a=0$

per trovare le coniche degeneri mi calcolo il discriminante della conica e lo pongo uguale a zero.

A me viene l'espressione (sviluppando):

$a(-4a^2 -ab -b^2)=0$

Ponendo a=0 trovo una parabola degenere spezzata nel prodotto di due rette parallele x=0 e x=2. Ma per il resto? Come trovo le altre coniche degeneri?

[sigma1]

Nessuno e' cosi misericordioso da darci un'occhiata? Ho l'esame tra qualche giorno e' questa cosa mi da' dei problemi...

[Sk_Anonymous]

Altre coniche degeneri si otterrebbero ponendo :
$b^2+ab+4a^2=0$ ma e' facile vedere che questa equazione
non ha soluzioni in R .Infatti ,supposto a diverso da zero (cosa possibile
visto che per a=0 si ottengono le coniche gia trovate) si puo' scrivere:
$(b/a)^2+(b/a)+4=0$ e questa relazione,considerata come un'equazione
nell'incognita b/a ,ha il discriminante =1-16=-15 <0 e quindi senza soluzioni reali.
Archimede.

[sigma1]

Grazie mille Archimede. Quindi la soluzione e' che nel fascio ci sono 3 coniche degeneri (come sempre) di cui pero' una sola reale (per a=0). Corretto?

[Sk_Anonymous]

Esatto.
Ciao.
Archimede

[clabj85]

a me veramente il determinante della matrice del fascio viene a(-4a^2-4ab-b^2) che è uguale a 0 anche se a=-1/2b

[sigma1]

Oops! Errore mio. Hai ragione clabj85 il discriminante del fascio di coniche e' $a(-4a^2-4ab-b^2)$

[Sk_Anonymous]

Sigma ,ma che mi combini! Mi ero fidato dei tuoi calcoli...
Sara' per un'altra volta.
Archimede

[sigma1]

D'ho! Non ti preoccupare la paternita' dell'errore e' tutta mia (e comunque il risultato con coniche non reali l'ho trovato interessante, non lo avevo ancora visto finora)