Coniche degeneri

[ROMA911]

Eseguo l'esercizio. Nel caso di due rette coincidenti, l'equazione - in coordinate omogenee - risulta immediata: $f(x_1,x_2,x_3) = (a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)^2 = 0$. Cioè conto due volte una stessa retta, del tutto generica, in coordinate omogenee.Calcolo il deteminante di $((a_1a_1,a_1a_2,a_1a_3), (a_2a_1,a_2a_2,a_2a_3), (a_3a_1,a_3a_2,a_3a_3))$. Il $det (A) = 0$ - le righe risultano tutte proporzionali tra loro - e il $rnk (A)= 1$ - infatti non esistono minori non nulli del secondo ordine -. Bene! Proprio come dev'essere. Nel caso di due rette non coincidenti moltiplico tra loro le equazioni generiche di due rette in coordinate omogenee: $f(x_1,x_2,x_3) =(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)(b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3) = 0$. Ottengo: $(( a_1b_1,a_1b_2,a_1b_3), (a_2b_1,a_2b_2,a_2b_3), (a_3b_1,a_3b_2,a_3b_3))$.Il $det(A) = 0$ come dev'essere sempre per le coniche degeneri - le righe sono nuovamente proporzionali -, mentre il $rnk(A)$ dovrebbe essere 2. Ho rifatto i calcoli più volte, ma non riesco a riscontrare minori non nulli del secondo ordine e, quindi, a me il $rnk(A)$ viene $ =1$, ma so dalla teoria che non può essere. Dov'è che sto sbagliando, per favore? Non ci arrivo proprio . . .

[stormy1]

data l'equazione,la matrice non si costruisce nel modo fatto da te
ad esempio,sviluppando i calcoli hai $(a_1b_2+a_2b_1)x_1x_2$ ; ciò implica che i termini $c_(12),c_(21)$ della matrice(che,ricordiamo,è simmetrica) sono uguali a $(a_1b_2+a_2b_1)/2$

[ROMA911]

Sei un grande! Grazie $oo$ davvero! Procedevo macchinalmente e non mi rendevo più conto che il coefficiente di $x_1x_2$ - nell'equazione della conica - è $2a_12$. Facendo come ho fatto io - sia pure implicitamente - assumevo che, ad es., $a_1b_2 = a_2b_1$, condizione di parallelismo. Ma, allora, le due rette non sarebbero più "generiche" e - nel caso del parallelismo "inconscio" - sarebbe corretto che il $rnk (A) = 1$ e non $=2$. Grazie ancora!