Coniche come (sostegno di) curve
Ciao a tutti.
Una volta definita una conica come luogo dei punti del piano che annullano un polinomio di grado 2 in 2 variabili, e una curva del piano come applicazione di un intervallo di R nel piano stesso, è possibile dimostrare, nel caso generale, che ogni conica è il sostegno di una curva? La dimostrazione c'è nei casi particolari: ellisse, iperbole, parabola, ma mi chiedevo se esistesse una dimostrazione del tutto in generale, solo sulla base delle due precedenti definizioni. Potreste eventualmente indicarmi un testo o, meglio ancora, un link qui in rete, che svolga una tale (se esiste) dimostrazione? Grazie... Rodolfo
Una volta definita una conica come luogo dei punti del piano che annullano un polinomio di grado 2 in 2 variabili, e una curva del piano come applicazione di un intervallo di R nel piano stesso, è possibile dimostrare, nel caso generale, che ogni conica è il sostegno di una curva? La dimostrazione c'è nei casi particolari: ellisse, iperbole, parabola, ma mi chiedevo se esistesse una dimostrazione del tutto in generale, solo sulla base delle due precedenti definizioni. Potreste eventualmente indicarmi un testo o, meglio ancora, un link qui in rete, che svolga una tale (se esiste) dimostrazione? Grazie... Rodolfo
Risposte
Secondo me è falso. Per esempio, $xy=0$ non è il sostegno di una curva, ma è una conica.
mmmhh... grazie. Come fai a stabilire che non è il sostegno di una curva...?
Disegnala e te ne accorgerai.
"dissonance":
Disegnala e te ne accorgerai.
Forse ho frainteso la definizione di sostegno...ma non è un sostegno di una qualsiasi iperbole?
Si, ma \(xy=0\) è il caso degenere, due rette che si intersecano nell'origine.
il luogo dei punti del piano tali che x y = 0 è l'unione dei due assi cartesiani, mi pare... ok, allora diciamo che vorrei dimostrare che una conica è l'unione di sostegni di curve... insomma ciò che mi preme è dimostrare la magrezza della conica, cioè che si tratta di un oggetto unidimensionale... così come, analogamente, vorrei provare che la quadrica è bidimensionale in quanto superficie o unione di superfici...
Ok, allora, sono cose diverse. Gli assi cartesiani non possono essere l'immagine di una unica curva, intesa come mappa continua di \(\mathbb R\) nel piano, perché hanno un punto singolare, l'origine. Però chiaramente la cosa che intuisci è vera, bisogna vedere come formalizzarla. Una possibilità è escludere i punti singolari. Se conosci il concetto di "varietà differenziabile", puoi dimostrare, usando il teorema della funzione implicita, che il luogo di punti
\[
S=\{x\in \mathbb R^n\ :\ P(x)=0 \}, \]
dove \(P\) è un polinomio (o una qualsiasi applicazione differenziabile), è una varietà differenziabile \(n-1\) dimensionale a patto che non vi siano punti singolari. Qui, per "punto singolare", intendo un punto \(x\in\mathbb R^n\) tale che \(P(x)=0\) e \(\nabla P(x)=0\).
\[
S=\{x\in \mathbb R^n\ :\ P(x)=0 \}, \]
dove \(P\) è un polinomio (o una qualsiasi applicazione differenziabile), è una varietà differenziabile \(n-1\) dimensionale a patto che non vi siano punti singolari. Qui, per "punto singolare", intendo un punto \(x\in\mathbb R^n\) tale che \(P(x)=0\) e \(\nabla P(x)=0\).
grazie, mi è d'aiuto...
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