Coniche - Asintoti
Salve a tutti. Ho un problema su un punto di un esercizio. Il testo è questo
In E˜2(C) si consideri la conica Ck : $x^2+(k-6)y^2+2x+2ky=0$ dove k è un parametro reale. Si determini
per quali valori di k la conica ha un asintoto parallelo alla retta s: $x+y+2=0$
La risposta è k=5
Ciò che ho provato a fare è quello di determinare il punto improprio della conica che me lo dice la direzione della retta s stessa, determinare il centro della conica e tracciare la retta che li congiunge. Evidentemente è sbagliato qualcosa, conti o teoria. Qualcuno potrebbe darmi una risposta? Ho l'esame proprio giovedì.
Grazie
Andrea
In E˜2(C) si consideri la conica Ck : $x^2+(k-6)y^2+2x+2ky=0$ dove k è un parametro reale. Si determini
per quali valori di k la conica ha un asintoto parallelo alla retta s: $x+y+2=0$
La risposta è k=5
Ciò che ho provato a fare è quello di determinare il punto improprio della conica che me lo dice la direzione della retta s stessa, determinare il centro della conica e tracciare la retta che li congiunge. Evidentemente è sbagliato qualcosa, conti o teoria. Qualcuno potrebbe darmi una risposta? Ho l'esame proprio giovedì.
Grazie
Andrea
Risposte
L'equazione della conica in coordinate proiettive omogenee (x,y,t) è:
$x^2+(k-6)y^2+2xt+2kyt=0$
I punti impropri della conica si ottengono ponendo $t=0$ in tale equazione e quindi si ha:
(1) $x^2+(k-6)y^2=0$
D'altra parte il punto improprio dell'asintoto dato è $(1,-1,0)$ e deve verificare la (1).
Pertanto abbiamo:
$1+k-6=0$ da cui $k=5$
$x^2+(k-6)y^2+2xt+2kyt=0$
I punti impropri della conica si ottengono ponendo $t=0$ in tale equazione e quindi si ha:
(1) $x^2+(k-6)y^2=0$
D'altra parte il punto improprio dell'asintoto dato è $(1,-1,0)$ e deve verificare la (1).
Pertanto abbiamo:
$1+k-6=0$ da cui $k=5$
Grazie mille Sandro!! Tutto chiaro!!
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