Coniche
Ciao,
ho un esercizio di geometria sulle coniche dove mi viene richiesto di trovare il fuoco della parabola di equazione:
[tex]x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0[/tex]
So che per una parabola il fuoco è dato dall'intersezione della retta propria "t" con la sua immaginaria e coniugata. Queste due rette sono le tangenti alla parabola condotte rispettivamente da I e J (punti ciclici I=(1,i,0) J=(1,-i,0)).
Ora se calcolo le tangenti queste risultano effettivamente l'una complessa coniugata dell'altra, ma intersecandole non ottengo alcun punto, poiché risultano parallele. Sapete dirmi dove è l'errore?
Vi riporto le due rette trovate
t: x(1- i) - y(1-i) - 1 - i = 0
t': x(1+i) - y(1+i) - 1 + i = 0
Grazie
ho un esercizio di geometria sulle coniche dove mi viene richiesto di trovare il fuoco della parabola di equazione:
[tex]x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0[/tex]
So che per una parabola il fuoco è dato dall'intersezione della retta propria "t" con la sua immaginaria e coniugata. Queste due rette sono le tangenti alla parabola condotte rispettivamente da I e J (punti ciclici I=(1,i,0) J=(1,-i,0)).
Ora se calcolo le tangenti queste risultano effettivamente l'una complessa coniugata dell'altra, ma intersecandole non ottengo alcun punto, poiché risultano parallele. Sapete dirmi dove è l'errore?
Vi riporto le due rette trovate
t: x(1- i) - y(1-i) - 1 - i = 0
t': x(1+i) - y(1+i) - 1 + i = 0
Grazie
Risposte
Ciao e benvenut* nel nostro forum!
Quelle che hai trovato non sono le rette tangenti alla parabola per [tex]I[/tex] e [tex]J[/tex] ma sono le loro polari.
Ricorda che i punti ciclici non appartengono alla parabola.
Quindi ci sono due rette passanti per [tex]I[/tex] e tangenti alla parabola e analogamente ci sono due rette per [tex]J[/tex] tangenti alla parabola.
Ti ricordi come si determina il fuoco?
Quelle che hai trovato non sono le rette tangenti alla parabola per [tex]I[/tex] e [tex]J[/tex] ma sono le loro polari.
Ricorda che i punti ciclici non appartengono alla parabola.
Quindi ci sono due rette passanti per [tex]I[/tex] e tangenti alla parabola e analogamente ci sono due rette per [tex]J[/tex] tangenti alla parabola.
Ti ricordi come si determina il fuoco?
Con i dati che ho il fuoco lo trovo intersecando le due tangenti proprie condotte da I e J alla parabola.
Ora per trovare le tangenti posso procedere in due modi:
1) equazione complessiva delle tangenti, cioè
[tex](\textbf{x}^T A \textbf{x}^Q)^2 - ((\textbf{x}^Q)^T A \textbf{x}^Q) (\textbf{x}^T A \textbf{x}) = 0[/tex]
2) - determinare le polari (che come giustamente mi faceva notare ho già trovato, infatti se il punto non appartiene alla conica la polare non è tg, sorry!)
- intersecarle con la conica (2 punti)
- retta per due punti (I/J - quelli dell'intersezione) = le due tangenti
- intersecando queste ultime = F
(sostanzialmente sfruttando un teorema, cioè la caratterizzazione geometrica della polarità)
I conti sono abbastanza lunghi in entrambi i modi, c'è una via più semplice?
Grazie,
Ely
Ora per trovare le tangenti posso procedere in due modi:
1) equazione complessiva delle tangenti, cioè
[tex](\textbf{x}^T A \textbf{x}^Q)^2 - ((\textbf{x}^Q)^T A \textbf{x}^Q) (\textbf{x}^T A \textbf{x}) = 0[/tex]
2) - determinare le polari (che come giustamente mi faceva notare ho già trovato, infatti se il punto non appartiene alla conica la polare non è tg, sorry!)
- intersecarle con la conica (2 punti)
- retta per due punti (I/J - quelli dell'intersezione) = le due tangenti
- intersecando queste ultime = F
(sostanzialmente sfruttando un teorema, cioè la caratterizzazione geometrica della polarità)
I conti sono abbastanza lunghi in entrambi i modi, c'è una via più semplice?
Grazie,
Ely
E' vero, probabilmente i conti sono un po' lunghetti. Purtroppo non mi vengono in mente altre vie meno "contaiole".
Non ho provato a farli, scusami ma sono troppo pigro!
Forse però qualcosa si semplifica. Prendiamo per esempio [tex]I[/tex].
Certamente una delle due tangenti è la retta impropria (perché la retta impropria è tangente alla parabola e passa per [tex]I[/tex]).
Devi solo determinare l'altra tangente.
Non ti resta che lavorare un po'
Non ho provato a farli, scusami ma sono troppo pigro!
Forse però qualcosa si semplifica. Prendiamo per esempio [tex]I[/tex].
Certamente una delle due tangenti è la retta impropria (perché la retta impropria è tangente alla parabola e passa per [tex]I[/tex]).
Devi solo determinare l'altra tangente.
Non ti resta che lavorare un po'
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo