Coniche

[sasa991]

Ragazzi, buonasera di nuovo:)
Per favore potete dirmi come procedere se su questo tipo di esercizio ,senza usare il teorema di invarianza e riduzione,
Ma con il procedimento della rototraslazione
Grazie

[sasa991]

Non mi ha caricato l esercizio

[Magma1]

Data la conica

$mathcal(C): qquad 13x^2+10xy+13y^2+2sqrt(2)+34sqrt(2)-22=0$

Inizia con la diagonalizzazione della matrice

$((13,5),(5,13))$

al fine di eliminare il termine misto $10xy$.

Posta quindi la nuova equazione della conica $mathcal(C)$

[sasa991]

mi viene :
18X'^2+8Y'^2+2(-X'+Y)+34(X'+Y)+22=0
con 18 e 8 autovalori trovati con la diagonalizzazione

[Magma1]

E la base di autovettori qual è?

[sasa991]

per autovalore 18
(-1 ,1)
autovalore 8
(1,1)
i quali li metto nella matrice di rotazione , M= 1/rad(2)* [ -1 1 ]
[ 1 1 ]

poi faccio

v=(x,y)=M*(X',Y')

trovo quella che ho scritto io

perdonami se non scrivo con il tuo stesso carattere ma sto cercando di capire questa cosa delle coniche,poi giuro che mi imparerò i comandi per scrivere bene le formule

[Magma1]

Quindi abbiamo $lambda_1=18$ e $lambda_2=8$ i cui autovettori, rispettivamente, sono $((-1),(1))$ e $((1),(1))$ e la base ortonormalizzata è

${1/sqrt(2)((-1),(1)), 1/sqrt(2)((1),(1))}$

quindi un primo cambiamento di variabili è dato da

$((x),(y))=1/sqrt(2) ((-1,1),(1,1))((X),(Y))$

Ora, se $mathcal(C)$ ammette un centro, le coordinate sono date dalla soluzione del seguente sistema omogeneo alle derivate parziali

${ ( (partialmathcal(C))/(partialx)=0 ),( (partialmathcal(C))/(partialy)=0 ):} hArr { (26x+10y+2sqrt(x)=0 ) ,(10x+26y+34sqrt(2)=0 ) :} rArr C-=(sqrt(2)/2,(-3sqrt(2))/2)$

un ultimo cambiamento di variabili, per eliminare i termini lineari, è dato da

${(X=x'+sqrt(2)/2),(Y=y'-(3sqrt(2))/2):}$

Quindi

$((x),(y))= 1/sqrt(2) ((-1,1),(1,1))((x'),(y'))+( (sqrt(2)/2), ((-3sqrt(2))/2))$

Io ho saltato un po' di conti e viene

$mathcal(C): qquad 18x^2+8y^2-72=0 hArr x^2/4+y^2/9=1$

P.S. scrivere bene le formule serve anche per invogliare le persone a rispondere