Coniche

[lisacassidy]

Buongiorno a tutti!

Ho il seguente esercizio:
Nello spazio euclideo tridimensionale, si consideri la quadrica di equazione

$ Q: x^2+2xy+y^2+2z=0 $

1) Si classifichi Q.
2) Si classifichino le coniche ottenute intersecando Q con il piano di equazione x+2y=t, al variare di t appartenente ad R.

1) Il punto 1 l'ho fatto nel seguente modo:

$ A=[ ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ] $

$ B=[ ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $

Ho calcolato i determinanti e mi risultano:

det(A)=0
det(B)=0

mi guardo pertanto i ranghi e mi vengono:

rg(B)=1
rg(A)=3

quindi ho un CILINDRO PARABOLICO.

2)
$ { ( x^2+2xy+y^2+2z=0 ),( x+2y=t ):} $

$ { ( x(x+2y)+y^2+2z=0 ),( x+2y=t ):} $

$ xt+y^2+2z=0 $

se t=0 $ rarr $ PARABOLA
se t $ != $ 0 $ rarr $ CILINDRO PARABOLICO

Ho dei dubbi sullo svolgimento del secondo punto. Io ho guardato come viene l'equazione della coniche e ho confrontato con quelle che ho, ma se volessi ragionare con i determinanti e i ranghi come dovrei fare?

[scarpma]

Mi sembra strano che dall'intersezione tra un piano ed una qualsiasi superficie possa uscire un qualsiasi cilindro. Infatti, se tratti la quadrica
$
xt+y^2+2z=0
$
con i soliti metodi trovi che $rgB=1$ e $rgA=3$. A questo punto mi sembra ancora più strano perchè non mi riesce classificarla in alcun modo. Qualche idea? Forse ho sbagliato i calcoli...