Coniche
Sia X la conica rappresentata dalla seguente equazione:
$ x^2 + y^2 + 2xy -2x + 1 =0$
1. dire che tipo di conica è
considerate i punti A=(1,-1) B=(1,1) C=(1,0)
2. esistino rette per A tangenti a X?
quante?
indicatene almeno una
3.esistino rette per B tangenti a X?
quante?
indicatene almeno una
4.esistino rette per C tangenti a X?
quante?
indicatene almeno una
svolgimento
1. dall'equazione generale delle coniche trovo che $ac-(b^2)=0$ ed infatti $ 1*1-(1^2)=0 $ quindi è una parabola
2.dalla formula della tangente dell'equazione generale in un punto P (nel mio caso A) trovo che x=0 quindi esiste una sola retta tangente che è proprio x=0
3. trovo x+2y=0 quindi esiste di nuovo una retta sola ed è proprio x+2y=0
4. trovo y=0 una retta sola ed è proprio y=0
E' giusto lo svolgimento?
$ x^2 + y^2 + 2xy -2x + 1 =0$
1. dire che tipo di conica è
considerate i punti A=(1,-1) B=(1,1) C=(1,0)
2. esistino rette per A tangenti a X?
quante?
indicatene almeno una
3.esistino rette per B tangenti a X?
quante?
indicatene almeno una
4.esistino rette per C tangenti a X?
quante?
indicatene almeno una
svolgimento
1. dall'equazione generale delle coniche trovo che $ac-(b^2)=0$ ed infatti $ 1*1-(1^2)=0 $ quindi è una parabola
2.dalla formula della tangente dell'equazione generale in un punto P (nel mio caso A) trovo che x=0 quindi esiste una sola retta tangente che è proprio x=0
3. trovo x+2y=0 quindi esiste di nuovo una retta sola ed è proprio x+2y=0
4. trovo y=0 una retta sola ed è proprio y=0
E' giusto lo svolgimento?
Risposte
1) Esatto
2) Errato.
Il punto A è interno alla parabola e quindi da esso non partono tangenti reali alla parabola. Per stabilire come è situato A rispetto alla conica puoi fare come segue.
Posto $f(x,y)=(x+y)^2-2x+1$, si calcola $f(A)=f(x,y)$
\(\displaystyle \begin{cases}f(A)<0 -> A = interno-alla-parabola\\f(A)>0->A=esterno-alla-parabola\\f(A)=0->A= appartiene-alla-parabola \end{cases} \)
Nel caso nostro è $f(A)=f(1,-1) =-1<0$ e dunque A è interno ( e non vi sono tangenti reali). La retta x=0 da te trovata non è la tangente in A alla parabola ma la polare di A rispetto alla conica data.
3) Errato.
Per il punto B si ha :$f(B)=f(1,1)=3>0$: B è esterno alla parabola e dunque da esso partono due tangenti reali. Anche in questo caso la retta di equazione $x+2y=0$ non è la tangente in B ma la polare. Essa polare interseca la parabola in due punti C e D : le tangenti uscenti da B sono allora le rette BC e BD ( lascio fare a te i relativi calcoli).
4) Esatto
2) Errato.
Il punto A è interno alla parabola e quindi da esso non partono tangenti reali alla parabola. Per stabilire come è situato A rispetto alla conica puoi fare come segue.
Posto $f(x,y)=(x+y)^2-2x+1$, si calcola $f(A)=f(x,y)$
\(\displaystyle \begin{cases}f(A)<0 -> A = interno-alla-parabola\\f(A)>0->A=esterno-alla-parabola\\f(A)=0->A= appartiene-alla-parabola \end{cases} \)
Nel caso nostro è $f(A)=f(1,-1) =-1<0$ e dunque A è interno ( e non vi sono tangenti reali). La retta x=0 da te trovata non è la tangente in A alla parabola ma la polare di A rispetto alla conica data.
3) Errato.
Per il punto B si ha :$f(B)=f(1,1)=3>0$: B è esterno alla parabola e dunque da esso partono due tangenti reali. Anche in questo caso la retta di equazione $x+2y=0$ non è la tangente in B ma la polare. Essa polare interseca la parabola in due punti C e D : le tangenti uscenti da B sono allora le rette BC e BD ( lascio fare a te i relativi calcoli).
4) Esatto
$BC-> y-1= (-3-sqrt(3))/(1+2sqrt(3))(x-1)$
$BD->y-1= (-3+sqrt(3))/(1-2sqrt(3))(x-1)$
è giusto? Per trovarle ho intersecato la retta B con l'equazione della parabola ed ho trovato 2 punti C e D
E poi ho trovato le rette passanti per punti B e C , B e D... ok?
$BD->y-1= (-3+sqrt(3))/(1-2sqrt(3))(x-1)$
è giusto? Per trovarle ho intersecato la retta B con l'equazione della parabola ed ho trovato 2 punti C e D
E poi ho trovato le rette passanti per punti B e C , B e D... ok?
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