Conica $ x_1^2+2hx_1x_2+4x_2^2+2hx_2x_3=0 $
Salve
ho notato che sui libri che ho a diposizioni non viene affrontato il tema delle coniche che a me servirebbe
precisamente nel programma è solo l'ultima riga:
"Le coniche, rappresentazione proiettiva e cartesiana: classificazione"
e l'esercizio che esce al compito è di questo genere
Si consideri l'equazione della conica definita in coordinate omogenee mediante l'equazione
$ x_1^2+2hx_1x_2+4x_2^2+2hx_2x_3=0 $
$i)$ classificare al variare di h
$ii)$ nel caso degenere determinare il punto doppio
$iii)$ per h=1 determinare il centro
$iv)$ per h=-1 determinare la polare dell'origine
io ho cercato un po ma mi chiedo, cosa si intende per rappresentazione proiettiva e cartesiana?
e poi una conica mi sembrava di aver capito avesse forma tipo $ ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0 $ perche quella nell'esercizio ha tre variabili??
qualcuno potrebbe fornire dei link riguardo proprio questi argomenti?
grazie
ho notato che sui libri che ho a diposizioni non viene affrontato il tema delle coniche che a me servirebbe
precisamente nel programma è solo l'ultima riga:
"Le coniche, rappresentazione proiettiva e cartesiana: classificazione"
e l'esercizio che esce al compito è di questo genere
Si consideri l'equazione della conica definita in coordinate omogenee mediante l'equazione
$ x_1^2+2hx_1x_2+4x_2^2+2hx_2x_3=0 $
$i)$ classificare al variare di h
$ii)$ nel caso degenere determinare il punto doppio
$iii)$ per h=1 determinare il centro
$iv)$ per h=-1 determinare la polare dell'origine
io ho cercato un po ma mi chiedo, cosa si intende per rappresentazione proiettiva e cartesiana?
e poi una conica mi sembrava di aver capito avesse forma tipo $ ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0 $ perche quella nell'esercizio ha tre variabili??
qualcuno potrebbe fornire dei link riguardo proprio questi argomenti?
grazie
Risposte
L'argomento in questione viene affrontato ampiamente su "Lezioni di Geometria" di Aristide Sanini. In ogni caso se ti procuri un testo troverai facilmente la spiegazione alle domande circa la classificazione delle coniche.
L'equazione che hai scritto tu è corretta e si ottiene proprio da quella di partenza del tuo esercizio... Basta fare delle banali sostituzioni! Ma ripeto, se ti procuri un libro di teoria, ti sarà chiaro tutto.
Comunque, guarda un po' queste dispense
https://www.scienzemfn.unisalento.it/c/ ... -44582.pdf
L'equazione che hai scritto tu è corretta e si ottiene proprio da quella di partenza del tuo esercizio... Basta fare delle banali sostituzioni! Ma ripeto, se ti procuri un libro di teoria, ti sarà chiaro tutto.
Comunque, guarda un po' queste dispense
https://www.scienzemfn.unisalento.it/c/ ... -44582.pdf
grazie ottimo link, però ancora ho il dubbio, cosa si intende per rappresentazione proiettiva e cartesiana?
ragazzi dato che come detto sto studiando questo argomento da internet, ho bisogno che mi aiutiate nel dirmi se sbaglio qualcosa nell'esercizio
Si consideri l'equazione della conica definita in coordinate omogenee mediante l'equazione
$ x_1^2+2hx_1x_2+4x_2^2+2hx_2x_3=0 $
$i)$ classificare al variare di h
$ii)$ nel caso degenere determinare il punto doppio
$iii)$ per h=1 determinare il centro
$iv)$ per h=-1 determinare la polare dell'origine
1. Allora voglio passare prima a coordinate non omogenee e quindi divido tutto per $x_3^2$ e pongo $x_1/x_3=x$ e $x_2/x_3=y$ giusto?
ottengo $x^2+2hxy+4y^2+2hy=0$
2. scrivo la matrice associata alla conica che è
$ A'= ( ( 1 , h , 0 ),( h , 4 , h ),( 0 , h , 0 ) ) $ e studio $I_3=det(A')=0$ per classificarla al variare di h
ottengo $h^2=0$ quindi la conica è degenere solo per $h=0$
studio quindi il rango di $A'$ e ottengo $r(A')=2$ quindi la conica per $h=0$ è semplicemente degenere
3. adesso per $h=0$ ottengo la conica $ x^2+4y^2=0$
di solito quando ottengo una conica degenere per trovare le due rette che la formano tratto la conica come un'equazione di secondo grado e la risolvo in una variabile, ma qui come bisogna comportarsi??
4. il punto doppio richiesto per la conica degenere è quello che altri testi chiamano "centro" per indicare che il metodo da usare è lo stesso per trovare il centro delle coniche non degeneri??
se si come penso, allora risolvo
$ A ( ( x ),( y ) ) = -h$ con $h= ( ( a_13 ),( a_23 ) ) $ e ottengo semplicemente $(0,0)$
5. per $h=1$ studio $I_2=det(A)$ e classifico la conica in base al segno
ottengo che è un ellisse e per il centro faccio come sopra e ottengo $(1/3, -1/3)$
6. adesso mi chiede di determinare la polare dell'origine e uso la formula
$ax x_0+b/2(x_0y+y_0x)+cyy_0+d/2(x+x_0)+e/2(y+y_0)+f=0$
siccome noto che l'origine è un punto della conica e quindi questa polare risulta essere proprio la tangente alla conica nell'origine e mi viene come risultato l'asse x
Le mie domande sono (oltre ovviamente a sapere se ho fatto qualche errore o qualcosa che ho tralasciato)
nel punto 6. l'origine risultava essere un punto della conica, nel caso in cui il punto è esterno o interno la formula è la stessa??
punto 3. come bisogna comportarsi?
altra cosa, come determino gli asintoti? avete qualche buon link dove è spiegato in maniera semplice e veloce?
grazie dell'aiuto
Si consideri l'equazione della conica definita in coordinate omogenee mediante l'equazione
$ x_1^2+2hx_1x_2+4x_2^2+2hx_2x_3=0 $
$i)$ classificare al variare di h
$ii)$ nel caso degenere determinare il punto doppio
$iii)$ per h=1 determinare il centro
$iv)$ per h=-1 determinare la polare dell'origine
1. Allora voglio passare prima a coordinate non omogenee e quindi divido tutto per $x_3^2$ e pongo $x_1/x_3=x$ e $x_2/x_3=y$ giusto?
ottengo $x^2+2hxy+4y^2+2hy=0$
2. scrivo la matrice associata alla conica che è
$ A'= ( ( 1 , h , 0 ),( h , 4 , h ),( 0 , h , 0 ) ) $ e studio $I_3=det(A')=0$ per classificarla al variare di h
ottengo $h^2=0$ quindi la conica è degenere solo per $h=0$
studio quindi il rango di $A'$ e ottengo $r(A')=2$ quindi la conica per $h=0$ è semplicemente degenere
3. adesso per $h=0$ ottengo la conica $ x^2+4y^2=0$
di solito quando ottengo una conica degenere per trovare le due rette che la formano tratto la conica come un'equazione di secondo grado e la risolvo in una variabile, ma qui come bisogna comportarsi??
4. il punto doppio richiesto per la conica degenere è quello che altri testi chiamano "centro" per indicare che il metodo da usare è lo stesso per trovare il centro delle coniche non degeneri??
se si come penso, allora risolvo
$ A ( ( x ),( y ) ) = -h$ con $h= ( ( a_13 ),( a_23 ) ) $ e ottengo semplicemente $(0,0)$
5. per $h=1$ studio $I_2=det(A)$ e classifico la conica in base al segno
ottengo che è un ellisse e per il centro faccio come sopra e ottengo $(1/3, -1/3)$
6. adesso mi chiede di determinare la polare dell'origine e uso la formula
$ax x_0+b/2(x_0y+y_0x)+cyy_0+d/2(x+x_0)+e/2(y+y_0)+f=0$
siccome noto che l'origine è un punto della conica e quindi questa polare risulta essere proprio la tangente alla conica nell'origine e mi viene come risultato l'asse x
Le mie domande sono (oltre ovviamente a sapere se ho fatto qualche errore o qualcosa che ho tralasciato)
nel punto 6. l'origine risultava essere un punto della conica, nel caso in cui il punto è esterno o interno la formula è la stessa??
punto 3. come bisogna comportarsi?
altra cosa, come determino gli asintoti? avete qualche buon link dove è spiegato in maniera semplice e veloce?
grazie dell'aiuto
scusa per classificarla al variare di h, h deve essere diverso da 0..
determino il det della matrice A33 che $4-h^2$ da cui $h=+-2$
ora come faccio a dire se è una parabola...visto che ho 2 valori? +2 e -2!?!?!?
determino il det della matrice A33 che $4-h^2$ da cui $h=+-2$
ora come faccio a dire se è una parabola...visto che ho 2 valori? +2 e -2!?!?!?
semplicemente $I_2=det(A)=4-h^2$
$4-h^2>0$ e ottieni $-2
quindi
$I_2>0, -2
$I_2<0, h<-2, h>2$ iperbole
$4-h^2>0$ e ottieni $-2
quindi
$I_2>0, -2
$I_2<0, h<-2, h>2$ iperbole
l'iperbole e l'ellisse non dovrebbero essere a contrario come l'hai scritto tu?
cmq questo mi sembra un compito di lomonaco
cmq questo mi sembra un compito di lomonaco
no dovrebbero essere esatte come le ho scritte
cmq si, questo è un compito di lomonaco
nessuno riesce ad aiutarmi?
cmq si, questo è un compito di lomonaco
"pocholoco92":
ragazzi dato che come detto sto studiando questo argomento da internet, ho bisogno che mi aiutiate nel dirmi se sbaglio qualcosa nell'esercizio
Si consideri l'equazione della conica definita in coordinate omogenee mediante l'equazione
$ x_1^2+2hx_1x_2+4x_2^2+2hx_2x_3=0 $
$i)$ classificare al variare di h
$ii)$ nel caso degenere determinare il punto doppio
$iii)$ per h=1 determinare il centro
$iv)$ per h=-1 determinare la polare dell'origine
1. Allora voglio passare prima a coordinate non omogenee e quindi divido tutto per $x_3^2$ e pongo $x_1/x_3=x$ e $x_2/x_3=y$ giusto?
ottengo $x^2+2hxy+4y^2+2hy=0$
2. scrivo la matrice associata alla conica che è
$ A'= ( ( 1 , h , 0 ),( h , 4 , h ),( 0 , h , 0 ) ) $ e studio $I_3=det(A')=0$ per classificarla al variare di h
ottengo $h^2=0$ quindi la conica è degenere solo per $h=0$
studio quindi il rango di $A'$ e ottengo $r(A')=2$ quindi la conica per $h=0$ è semplicemente degenere
3. adesso per $h=0$ ottengo la conica $ x^2+4y^2=0$
di solito quando ottengo una conica degenere per trovare le due rette che la formano tratto la conica come un'equazione di secondo grado e la risolvo in una variabile, ma qui come bisogna comportarsi??
4. il punto doppio richiesto per la conica degenere è quello che altri testi chiamano "centro" per indicare che il metodo da usare è lo stesso per trovare il centro delle coniche non degeneri??
se si come penso, allora risolvo
$ A ( ( x ),( y ) ) = -h$ con $h= ( ( a_13 ),( a_23 ) ) $ e ottengo semplicemente $(0,0)$
5. per $h=1$ studio $I_2=det(A)$ e classifico la conica in base al segno
ottengo che è un ellisse e per il centro faccio come sopra e ottengo $(1/3, -1/3)$
6. adesso mi chiede di determinare la polare dell'origine e uso la formula
$ax x_0+b/2(x_0y+y_0x)+cyy_0+d/2(x+x_0)+e/2(y+y_0)+f=0$
siccome noto che l'origine è un punto della conica e quindi questa polare risulta essere proprio la tangente alla conica nell'origine e mi viene come risultato l'asse x
Le mie domande sono (oltre ovviamente a sapere se ho fatto qualche errore o qualcosa che ho tralasciato)
nel punto 6. l'origine risultava essere un punto della conica, nel caso in cui il punto è esterno o interno la formula è la stessa??
punto 3. come bisogna comportarsi?
altra cosa, come determino gli asintoti? avete qualche buon link dove è spiegato in maniera semplice e veloce?
grazie dell'aiuto
nessuno riesce ad aiutarmi?
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