Conica ... esercizio urgente!
Salve a tutti ho un esercizio che davvero non riesco a concludere!!! Allora la traccia mi dice:
Fissato nel piano affine euclideo un riferimento cartesiano ortonormale, si consideri la conica $ cc(I) $ di equazione $ 3x^( 2) $+ $ 3y^( 2) $+2x-2=0
(1) Si scriva la matrice A associata alla conica nel riferimento fissao.
allora il la matrice me la sono calcolata ed è $ ( ( 3 , 0 , 1 ),( 0 , 3 , 0 ),( 1, 0, -2) ) $
(2) Si classifichi la conica.
allora calcolandomi il determinante della matrice A il determinante è diverso da zero e quindi la conica è non degenere.
prendendo il determinante della matrice $ ( ( 3, 0 ),( 0 , 3 ) ) $ che è maggiore di zero mi trovo che la conica è un ellisse.
(3) Si determini l'equzione canonica e si scrivano le equazioni del cambiamento di riferimento cartesiano ortonormae che trasformano l'equazione assegnata nell'equazione canonica.
arrivata a questo unto mi blocco ... mi potreste dare un aiuto magari un input ... grazie!!!
Fissato nel piano affine euclideo un riferimento cartesiano ortonormale, si consideri la conica $ cc(I) $ di equazione $ 3x^( 2) $+ $ 3y^( 2) $+2x-2=0
(1) Si scriva la matrice A associata alla conica nel riferimento fissao.
allora il la matrice me la sono calcolata ed è $ ( ( 3 , 0 , 1 ),( 0 , 3 , 0 ),( 1, 0, -2) ) $
(2) Si classifichi la conica.
allora calcolandomi il determinante della matrice A il determinante è diverso da zero e quindi la conica è non degenere.
prendendo il determinante della matrice $ ( ( 3, 0 ),( 0 , 3 ) ) $ che è maggiore di zero mi trovo che la conica è un ellisse.
(3) Si determini l'equzione canonica e si scrivano le equazioni del cambiamento di riferimento cartesiano ortonormae che trasformano l'equazione assegnata nell'equazione canonica.
arrivata a questo unto mi blocco ... mi potreste dare un aiuto magari un input ... grazie!!!
Risposte
Ciao.
Sì, i primi due punti dovrebbero essere corretti (osserva però che - essendo i due autovalori uguali - si tratta di un'ellisse particolare: è una circonferenza). Quanto al terzo, è quello che comunemente si chiama "riduzione" a forma canonica della conica.
Un modo di procedere potrebbe essere questo (sei avvantaggiato perchè la sottomatrice è già diagonale): completa i quadrati (se non sai cosa vuol dire chiedi) e poi operi una traslazione del sistema di riferimento.
Prova un po' e vedi che riesci a fare.
Sì, i primi due punti dovrebbero essere corretti (osserva però che - essendo i due autovalori uguali - si tratta di un'ellisse particolare: è una circonferenza). Quanto al terzo, è quello che comunemente si chiama "riduzione" a forma canonica della conica.
Un modo di procedere potrebbe essere questo (sei avvantaggiato perchè la sottomatrice è già diagonale): completa i quadrati (se non sai cosa vuol dire chiedi) e poi operi una traslazione del sistema di riferimento.
Prova un po' e vedi che riesci a fare.
potresti essere un pò più chiaro? grazie
Allora tu hai $3x^2+3y^2+2x-2=0$: lo riscrivo così, guarda: $3(x^2+2/3x)+3(y^2)=2$: riesci a completare la prima parentesi in modo che venga fuori un quadrato di binomio? Ricordati che ogni termine che aggiungi nell'equazione lo devi anche sottrarre, se no cambi le carte in tavola 
perchè devo fare così??? non posso cercare una matrice M dove la trasposta di M per la sottomatrice A moltiplicata a sua volta per M mi da la matrice diagonale cn due autovalori?
Allora:
1. sarebbe cosa buona se usassi le formule;
2. tu mi hai chiesto che cosa fare, io ti ho risposto. Puoi certamente fare quello che vuoi, secondo me è come uccidere una mosca con un cannone o risolvere un'equazione di primo grado con il teorema di Rouchè Capelli: insomma, chiunque abbia un minimo di conoscenza della geometria analitica (liceale) vede che quella è una circonferenza con centro $(-1/3,0)$.
Fa ciò che più ti pare opportuno, io ti indicavo solo la via che - a me - sembrava più semplice. Ritengo inutile (se ho ben capito) tentare la tua strada: la conica infatti non è ruotata.
A presto.
1. sarebbe cosa buona se usassi le formule;
2. tu mi hai chiesto che cosa fare, io ti ho risposto. Puoi certamente fare quello che vuoi, secondo me è come uccidere una mosca con un cannone o risolvere un'equazione di primo grado con il teorema di Rouchè Capelli: insomma, chiunque abbia un minimo di conoscenza della geometria analitica (liceale) vede che quella è una circonferenza con centro $(-1/3,0)$.
Fa ciò che più ti pare opportuno, io ti indicavo solo la via che - a me - sembrava più semplice. Ritengo inutile (se ho ben capito) tentare la tua strada: la conica infatti non è ruotata.
A presto.
a ho capito ... provo a fare come hai detto tu!
allora dunque ho provato a risolvere il 3 punto ponendo:
$ (3x )^( 2) $+ $ (3y )^(2 ) $+2x-2+1-1=0
$ (3(x+1) )^( 2) $+ $ (3y )^( 2) $ -3=0
X=x+1
Y=y+1
$ (X )^( 2) $ + $ ( Y)^( 2) $= 3 è l'equazione canonica giusto?
$ (3x )^( 2) $+ $ (3y )^(2 ) $+2x-2+1-1=0
$ (3(x+1) )^( 2) $+ $ (3y )^( 2) $ -3=0
X=x+1
Y=y+1
$ (X )^( 2) $ + $ ( Y)^( 2) $= 3 è l'equazione canonica giusto?
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