Conica degenere e punti doppi
Salve ragazzi, mi sapreste aiutare su questo esercizio?
L'esercizio mi chiede: data l'equazione:
$ kx^2-2xy+5y^2-k^2=0 $
stabilire se vi sono dei valori di k per cui la conica risulta riducibile e trovare in tali casi le equazioni delle rette di cui essa risulta essere unione e le coordinate dei punti doppi.
Allora per svolgere questo esercizio ho fatto così:
mi sono costruito la matrice associata:
$ | ( k , -1 , 0 ),( -1 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , -k^2 ) | $
che risulta uguale a zero per i valori: k=0 e k=1/5. Quindi in questi due casi risulta degenere. Inoltre il rango in questi due casi è 2 quindi, in particolare, risulta semplicemente degenere ed è formata dall'unione di due rette distinte.
Per k=0 abbiamo: $ -2xy+5y^2=0 $
quindi le due rette sono y=0 e -2x+5y=0
mettiamo a sistema:
$ { ( y=0 ),( -2x+5y=0 ):} $
e troviamo il punto doppio (0;0)
Per k=1/5 abbiamo: $ 1/5x^2-2xy+5y^2-1/25=0 $
e risolvendo l'equazione di secondo grado otteniamo le due rette:
$ 10y-2x+2sqrt(5)/5=0 $ e $ 10y-2x-2sqrt(5)/5=0 $
ma se li metto a sistema non trovo soluzioni... come devo fare? Ho sbagliato qualcosa io?
L'esercizio mi chiede: data l'equazione:
$ kx^2-2xy+5y^2-k^2=0 $
stabilire se vi sono dei valori di k per cui la conica risulta riducibile e trovare in tali casi le equazioni delle rette di cui essa risulta essere unione e le coordinate dei punti doppi.
Allora per svolgere questo esercizio ho fatto così:
mi sono costruito la matrice associata:
$ | ( k , -1 , 0 ),( -1 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , -k^2 ) | $
che risulta uguale a zero per i valori: k=0 e k=1/5. Quindi in questi due casi risulta degenere. Inoltre il rango in questi due casi è 2 quindi, in particolare, risulta semplicemente degenere ed è formata dall'unione di due rette distinte.
Per k=0 abbiamo: $ -2xy+5y^2=0 $
quindi le due rette sono y=0 e -2x+5y=0
mettiamo a sistema:
$ { ( y=0 ),( -2x+5y=0 ):} $
e troviamo il punto doppio (0;0)
Per k=1/5 abbiamo: $ 1/5x^2-2xy+5y^2-1/25=0 $
e risolvendo l'equazione di secondo grado otteniamo le due rette:
$ 10y-2x+2sqrt(5)/5=0 $ e $ 10y-2x-2sqrt(5)/5=0 $
ma se li metto a sistema non trovo soluzioni... come devo fare? Ho sbagliato qualcosa io?
Risposte
Piccolo passo in avanti: il buon vecchio e caro wikipedia mi ha chiarito un concetto che forse (per distrazione mia) non avevo notato sul mio libro di testo. Ovvero che se la mia matrice A ha determinante = 0 e la sottomatrice B ha determinante = 0 allora si tratta di una coppia di rette reali distinte parallele oppure complessi coniugati senza punti comuni.
Ma allora mi sorge un dubbio. Infatti sul mio libro di testo (Lezioni di Geometria di Mario Rosati) ho la seguente proposizione:
Allora nel caso in cui k=1/5 è o non è una conica riducibile??
Ma allora mi sorge un dubbio. Infatti sul mio libro di testo (Lezioni di Geometria di Mario Rosati) ho la seguente proposizione:
Una conica è riducibile se e solo se essa ha un punto doppio (almeno). Le coniche riducibili sono anche dette coniche degeneri.
Allora nel caso in cui k=1/5 è o non è una conica riducibile??
è una conica degenere costituita da 2 rette parallele che quindi si intersecano nel loro punto improprio
Il punto improprio si calcola vedendo per quali valori l'equazione senza termine noto è uguale a zero?
cioè prendo 10y-2x=0 e quindi il punto improprio sarebbe (5,1) ?
cioè prendo 10y-2x=0 e quindi il punto improprio sarebbe (5,1) ?
però come l'hai scritto non è corretto
in coordinate omogenee $(5,1,0)$
il punto improprio rappresenta la direzione
in coordinate omogenee $(5,1,0)$
il punto improprio rappresenta la direzione
Grazie mille.. sei stato gentilissimo!!!!
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