Conica
data la conica 4x^2-4xy+y^2+6x+2y-3=0
determinare l'equazione canonica.
qual'è il procedimento piu breve?? grazie
determinare l'equazione canonica.
qual'è il procedimento piu breve?? grazie
Risposte
$4x^2-4xy+y^2+6x+2y-3=0 $
"Ingegnerepersbaglio":
$4x^2-4xy+y^2+6x+2y-3=0 $
E' una parabola, con asse obliquo.
Francesco Daddi
"franced":
[quote="Ingegnerepersbaglio"]$4x^2-4xy+y^2+6x+2y-3=0 $
E' una parabola, con asse obliquo.
Francesco Daddi[/quote]
si questo lo so fare, cioè so classificarla; ma non so qual'è il procedimento per trovarne l'equazione canonica!
"Jazz_lover":
[quote="franced"][quote="Ingegnerepersbaglio"]$4x^2-4xy+y^2+6x+2y-3=0 $
E' una parabola, con asse obliquo.
Francesco Daddi[/quote]
si questo lo so fare, cioè so classificarla; ma non so qual'è il procedimento per trovarne l'equazione canonica!
[/quote]Devi considerare la matrice $3 \times 3 $associata alla conica, trovare gli autovalori e gli autovettori della sottomatrice principale $2 \times 2$
etc..
Francesco Daddi
"franced":
[quote="Jazz_lover"][quote="franced"][quote="Ingegnerepersbaglio"]$4x^2-4xy+y^2+6x+2y-3=0 $
E' una parabola, con asse obliquo.
Francesco Daddi[/quote]
si questo lo so fare, cioè so classificarla; ma non so qual'è il procedimento per trovarne l'equazione canonica!
[/quote]Devi considerare la matrice $3 \times 3 $associata alla conica, trovare gli autovalori e gli autovettori della sottomatrice principale $2 \times 2$
etc..
Francesco Daddi[/quote]
si si fin li ci sono...è poi che mi perdo....devo fare il prodotto tra la matrice fatta dagli autovettori per X, Y e cosi ottengo x,y?
"Jazz_lover":
data la conica 4x^2-4xy+y^2+6x+2y-3=0
determinare l'equazione canonica.
qual'è il procedimento piu breve?? grazie
Ci ho riflettuto un po', ho trovato questa soluzione.
Qualcuno dirà che non è un procedimento elegante, pazienza..
allora: la parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto $(a;b)$ e da
una retta $x=m*y+q$ (l'ho scritta così perché si fa prima a fare i calcoli).
Impongo la condizione:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = \frac{(x-m*y-q)^2}{1+m^2}$
e semplificando trovo:
$m^2*x^2+2*m*x*y+y^2-2*a*x+2*q*x-2*m^2*a*x-2*m*q*y-2*b*y-2*m^2*b*y+a^2+m^2*a^2+b^2+m^2*b^2-q^2 = 0$
Imponendo che i coefficienti siano uguali a quelli da te proposti si trova:
$m = -2, q = 5/2, b = 4/5, a = -1/10$
E' un po' brutale come approccio, ma almeno funziona e non fa ricorso alle matrici!!
Francesco Daddi
Non vi è piaciuta la mia soluzione?
Con il mio metodo si trovano le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice:
$F = (-\frac{1}{10} ; \frac{4}{5})$
$dir. x = -2y+\frac{5}{2}$
Francesco Daddi
Con il mio metodo si trovano le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice:
$F = (-\frac{1}{10} ; \frac{4}{5})$
$dir. x = -2y+\frac{5}{2}$
Francesco Daddi
Il procedimento di franced,pur originale,non porta a quanto richiesto .
Per avere l'equazione canonica della parabola , senza adoperare autovalori
e quant'altro,si puo' ricorrere alla teoria degli invarianti.
Precisamente essi sono:
$A$=determinante della matrice associata alla conica,
$A_(33)$ = complemento algebrico dell'elemento $a_(33)$ di tale matrice
$I=a_(11)+a_(22)$
Nel caso nostro ,con facili calcoli,si vede che :
$A=-200,A_(33)=0,I=10$
Assumendo ora come asse delle x l'asse della parabola e come asse delle y
la perpendicolare a quest'asse nel vertice,l'equazione della conica assume la forma:
$by^2+2cx=0$ e gli invarianti di essa sono:
$A=-8bc^2,A_(33)=0,I=2b$
Eguagliando tali valori a quelli della conica dati si ha il semplice sistema:
${(8bc^2=200),(2b=10):}$ che risolto fornisce i valori:
$b=5,c=+-sqrt(5)$
Pertanto l'equazione canonica della nostra parabola e':
$5y^2+-2sqrt(5)x=0$
Il doppio segno viene a dipendere dall'orientamento che si sceglie sull'asse rispetto alla tangente.
E' da notare che questo procedimento non fornisce le effettive equazioni della trasformazione di
coordinate che permette di ottenere l'equazione canonica.
Come invece risulterebbe col metodo degli autovalori.
karl
Per avere l'equazione canonica della parabola , senza adoperare autovalori
e quant'altro,si puo' ricorrere alla teoria degli invarianti.
Precisamente essi sono:
$A$=determinante della matrice associata alla conica,
$A_(33)$ = complemento algebrico dell'elemento $a_(33)$ di tale matrice
$I=a_(11)+a_(22)$
Nel caso nostro ,con facili calcoli,si vede che :
$A=-200,A_(33)=0,I=10$
Assumendo ora come asse delle x l'asse della parabola e come asse delle y
la perpendicolare a quest'asse nel vertice,l'equazione della conica assume la forma:
$by^2+2cx=0$ e gli invarianti di essa sono:
$A=-8bc^2,A_(33)=0,I=2b$
Eguagliando tali valori a quelli della conica dati si ha il semplice sistema:
${(8bc^2=200),(2b=10):}$ che risolto fornisce i valori:
$b=5,c=+-sqrt(5)$
Pertanto l'equazione canonica della nostra parabola e':
$5y^2+-2sqrt(5)x=0$
Il doppio segno viene a dipendere dall'orientamento che si sceglie sull'asse rispetto alla tangente.
E' da notare che questo procedimento non fornisce le effettive equazioni della trasformazione di
coordinate che permette di ottenere l'equazione canonica.
Come invece risulterebbe col metodo degli autovalori.
karl
Mi sembra ci sia un quadrato di troppo. Intendi $ 5y^2+-2sqrt(5)x = 0 $ ?
Giusto,ho corretto.
Grazie per la segnalazione.
karl
Grazie per la segnalazione.
karl
"karl":
Il procedimento di franced,pur originale,non porta a quanto richiesto .
Per avere l'equazione canonica della parabola , senza adoperare autovalori
e quant'altro,si puo' ricorrere alla teoria degli invarianti.
Scusa vuoi dirmi che una volta che hai il fuoco e la direttrice di una parabola
non hai la forma canonica?
In fin dei conti ti basta la distanza tra il fuoco e la direttrice, se ci pensi bene..
Francesco Daddi
"franced":
[quote="karl"]Il procedimento di franced,pur originale,non porta a quanto richiesto .
Per avere l'equazione canonica della parabola , senza adoperare autovalori
e quant'altro,si puo' ricorrere alla teoria degli invarianti.
Scusa vuoi dirmi che una volta che hai il fuoco e la direttrice di una parabola
non hai la forma canonica?
In fin dei conti ti basta la distanza tra il fuoco e la direttrice, se ci pensi bene..
Francesco Daddi[/quote]
Guarda te lo dimostro.
Allora, con il mio metodo trovi il fuoco e la direttrice.
Se calcoli la distanza trovi che il fuoco dista dalla direttrice $\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Allora puoi scegliere un sistema di riferimento cartesiano con l'origine posta nel punto medio del segmento
$FH$ (dove $H$ è la proiezione ortogonale di $F$ sulla direttrice), l'asse $x$ parallelo alla direttrice
e l'asse $y$ ad esso ortogonale.
In questo riferimento il fuoco ha coordinate
$F' = (0 ; \frac{\sqrt{5}}{10})$ (l'ordinata di $F'$ è la metà della distanza del fuoco dalla direttrice)
e ricordando che la parabola generica $y = k x^2$ ha il fuoco in $(0 ; \frac{1}{4k})$,
si trova:
$\frac{1}{4k} = \frac{\sqrt{5}}{10}$
da cui
$k = \frac{\sqrt{5}}{2}$
quindi l'equazione canonica della parabola è $y = \frac{\sqrt{5}}{2} x^2$
Osservazione: non ho utilizzato nessuna matrice o invariante.
Francesco Daddi
@franced
Intendevo dire che ,una volta noti fuoco e direttrice,se si applica la solita definizione
di parabola,si torna alla equazione data ! Il procedimento da te ,successivamente
indicato, sostanzialmente finisce per sostituire la ricerca degli autovalori ma in maniera
un tantino.. tortuosa.Roba da liceo insomma ,difficilmente accettabile in una prova universitaria.
Tieni presente che i fuochi di una conica (uno solo nel caso di una parabola) sono le intersezioni
delle tangenti alla conica condotte ad essa dai punti ciclici del piano e che le direttrici
(una sola nel caso di una parabola) sono le polari di tali fuochi rispetto alla conica.
Credo che anche la soluzione con gli invarianti, da me proposta,non avrebbe avuto miglior fortuna.
Si tratta pur sempre di scorciatoie che non producono l'atteso scopo:quello di indicare
le effettive equazioni della trasformazione di coordinate con la quale si passa dall'equazione
data a quella canonica.Ovviamente si tratta di mie personali interpretazioni che non tolgono nulla
nè a te e nè... a me.
karl
Intendevo dire che ,una volta noti fuoco e direttrice,se si applica la solita definizione
di parabola,si torna alla equazione data ! Il procedimento da te ,successivamente
indicato, sostanzialmente finisce per sostituire la ricerca degli autovalori ma in maniera
un tantino.. tortuosa.Roba da liceo insomma ,difficilmente accettabile in una prova universitaria.
Tieni presente che i fuochi di una conica (uno solo nel caso di una parabola) sono le intersezioni
delle tangenti alla conica condotte ad essa dai punti ciclici del piano e che le direttrici
(una sola nel caso di una parabola) sono le polari di tali fuochi rispetto alla conica.
Credo che anche la soluzione con gli invarianti, da me proposta,non avrebbe avuto miglior fortuna.
Si tratta pur sempre di scorciatoie che non producono l'atteso scopo:quello di indicare
le effettive equazioni della trasformazione di coordinate con la quale si passa dall'equazione
data a quella canonica.Ovviamente si tratta di mie personali interpretazioni che non tolgono nulla
nè a te e nè... a me.
karl
"karl":
@franced
Intendevo dire che ,una volta noti fuoco e direttrice,se si applica la solita definizione
di parabola,si torna alla equazione data ! Il procedimento da te ,successivamente
indicato, sostanzialmente finisce per sostituire la ricerca degli autovalori ma in maniera
un tantino.. tortuosa.Roba da liceo insomma ,difficilmente accettabile in una prova universitaria.
Tieni presente che i fuochi di una conica (uno solo nel caso di una parabola) sono le intersezioni
delle tangenti alla conica condotte ad essa dai punti ciclici del piano e che le direttrici
(una sola nel caso di una parabola) sono le polari di tali fuochi rispetto alla conica.
Credo che anche la soluzione con gli invarianti, da me proposta,non avrebbe avuto miglior fortuna.
Si tratta pur sempre di scorciatoie che non producono l'atteso scopo:quello di indicare
le effettive equazioni della trasformazione di coordinate con la quale si passa dall'equazione
data a quella canonica.Ovviamente si tratta di mie personali interpretazioni che non tolgono nulla
nè a te e nè... a me.
karl
Forse non ci capiamo perché per "equazione canonica" intendiamo 2 cose diverse.
Io per equazione canonica intendo l'equazione della conica rispetto ad un opportuno
sistema di coordinate ortogonali.
Ebbene, io ho trovato, seppur facendo i "conti", questa equazione.
E ho trovato pure il sistema di riferimento opportuno..
Non capisco perché non vuoi accettare la mia soluzione.
Francesco Daddi
Ok franced.
la tua soluzione e' perfetta.
karl
la tua soluzione e' perfetta.
karl
"karl":
@franced
Intendevo dire che ,una volta noti fuoco e direttrice,se si applica la solita definizione
di parabola,si torna alla equazione data !
No, io una volta trovato il fuoco e l'equazione della direttrice, non ho rimesso i numeri
trovando l'equazione della parabola di partenza!
Guarda bene cosa ho scritto: ho preso come origine del nuovo sistema di coordinate
il punto medio del segmento $FH$, ma non l'ho trovato esplicitamente, perché a me
interessa solo l'equazione canonica della parabola.
Forse non ci siamo capiti.
La mia intenzione era quella di far vedere che non è necessario passare dalle matrici
per trovare ciò che era richiesto.
Francesco Daddi
C'e' stata una coincidenza di repliche !!!
Allora mi ripeto :la soluzione di franced e' perfetta.
karl
Allora mi ripeto :la soluzione di franced e' perfetta.
karl
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