Confronto locale

[thedarkhero]

Come si calcola $lim_(x->0+)(1-cos(x^a)-x^2*log(x))/(log(1+x^2)-sin(x^a))$ con $a>0$?

[Injo]

"thedarkhero":Come si calcola $lim_(x->0+)(1-cos(x^a)-x^2*log(x))/(log(1+x^2)-sin(x^a))$ con $a>0$?

Credo si possa procedere in questo modo con Taylor.

$lim_(x->0+)(1-cos(x^a)-x^2*log(x))/(log(1+x^2)-sin(x^a)) = lim_(x->0+) (-(x^(2a))/2(1+o(1))-x^2log(x))/(x^2-(x^4)/2(1+o(1)) - x^a+(x^(3a))/6(1+o(1))) = $
$=lim_(x->0+) (-3x^(2a)(1+o(1))-6x^2log(x))/(-3x^4(1+o(1))+x^(3a)(1+o(1))) = lim_(x->0+) (x^(2a)(-3(1+o(1))-(6log(x))/(x^a)))/(x^(3a)(-1/(x^(4-3a))(1+o(1))+1)) = lim_(x->0+) ((-3(1+o(1))-6log(x)/(x^a)))/(x^a(-1/(x^(4-3a))(1+o(1))+1)) = +\infty$

[thedarkhero]

Come hai fatto a sviluppare in quel modo $1-cos(x^a)$?

[thedarkhero]

Io ho fatto così:
$lim_(x->0+)(1-cos(x^a)-x^2*log(x))/(log(1+x^2)-sin(x^a))=lim_(x->0+)(1-(1-(x^(2a))/2+o(x^(2a)))-x^2*log(x))/((x^2-x^4/4+o(x^4))-(x^a-x^(3a)/6+o(x^(3a))))$
Intanto vorrei sapere se è giusto (ho solo sostituito gli sviluppi asintotici) e poi vorrei sapere quali o piccoli posso trascurare e perchè...

[adaBTTLS1]

le sostituzioni sono giuste, a parte un errore ininfluente nello sviluppo del log (il secondo termine è $-x^2/2$ e non $-x^2/4$).
secondo me dovresti distinguere i casi di a<1, a=1, 12. dovevi fare la discussione rispetto ad a ?

[Injo]

La tua sostituzione degli sviluppi asintotici è più corretta della mia (ci sono alcuni errori di calcolo, dopo li correggo che ora non ho tempo ). Semplicemente la mia notazione degli o-piccoli è diversa dalla tua. Ad esempio, se nella tua notazione scrivi $x^2+o(x^2)$ io invece uso $x^2(1+o(1))$ in quanto lo trovo più comodo da usare. Comunque le due cose sono equivalenti.

Per quanto riguarda gli o-piccoli trascurabili lo ricavi dalla definizione: si dice che $f(x)$ è o-piccolo di $g(x)$ per $x\to +\infty$ (ovvero $f(x)=o(g(x))$) se $lim_(x\to\+infty) f(x)/g(x) = 0$. Quindi gli o-piccoli trascurabili sono quelli meno forti, ovvero, ad esempio, puoi trascurare in una somma $o(x)$ se in essa compare anche $o(x^2)$.

[thedarkhero]

Si devo fare la discussione in base ad a, ora penso di aver capito (studio i vari casi e poi posto la soluzione).
Ultima cosa: il secondo termine dello sviluppo del log è $-x^4/2$ e non $-x^2/2$ secondo me...correggetemi se sbaglio...

[adaBTTLS1]

sì è $-x^4/2$. intendevo dire solo che non è 4 al denominatore ...

[thedarkhero]

Io farei solo tre casi:
$a<2$
$a=2$
$a>2$
Perchè si fa anche $a=1$ e $a<1$?

[adaBTTLS1]

se ti riferisci al risultato, bastano due casi: $a<2$ (limite =$0$, mettendo in evidenza $x^a$), $a>=2$ (limite =$+oo$, mettendo in evidenza $x^2$).
forse hai ragione tu, il caso $x=2$ è utile vederlo a parte, mentre gli altri riesci ad unificarli.
io li ho usati per distinguere i termini "predominanti" a numeratore e a denominatore.

[thedarkhero]

si ma non capisco come cambino i termini dominanti tra 0 e 2...volevo solo capirlo

[adaBTTLS1]

al numeratore hai $x^(2a)$ e $x^2logx$, al denominatore hai $x^2$ e $x^a$

di fatto ho messo in evidenza $x^a$ sia al numeratore sia al denominatore, ma al numeratore potrei mettere in evidenza $x^(2a)$ o $x^2$, ed in quest'ultimo caso rimane $-logx$ che tende a $+oo$, mentre al denominatore a seconda che si metta in evidenza $x^2$ o $x^a$ rimane $+1$ o $-1$.

posta i tuoi risultati. domani (oggi) ne potremo riparlare. ciao.