Confronto fra norme

[Webster]

Su una dispensa ho trovato il seguente teorema: "Date due norme differenti $||\cdot||'$ e $||\cdot||''$ esistono $\alpha,\beta>0$ tali che $\alpha||x||''<=||x||'<=\beta||x||''$ per qualsiasi $x in R^n$". Purtroppo non viene indicato ne il nome del teorema ne la sua dimostrazione. Qualcuno potrebbe dirmi di più a riguardo? Grazie.

[Trilogy]

Puoi dimostrare che una norma $\|\cdot \|$ è equivalente alla "norma infinito" $\|\cdot\|_\infty$. Sia $$S:=\{x\in \mathbb R^n: |x|_\infty=1\}.$$ Si vede che $S$ è chiuso e limitato in $\mathbb R^n$. Allora, per Weirstrass, $\|\cdot\|$ raggiunge massimo e minimo su $S$, cioè esistono $x_1,x_2\in S$ tali che $$|x_1|\leq|x|\leq|x_2|\qquad \forall x\in S.$$ Si vede immediatamente che $${x\over |x|_\infty}\in S \qquad \forall x\in\mathbb R^n,$$ e allora $$|x_1|\le{|y|\over |y|_\infty}\le|x_2|\qquad \forall y\in\mathbb R^n.$$ Da questo si ricavano le disuguaglianze che cercavi, $$\underbrace{|x_1|}_\alpha|y|_\infty\le|y|\le\underbrace{|x_2|}_\beta|y|_\infty.$$