Conferma svolgimento sistema di equazioni parametriche
Determinare,al variare del parametro k, quando il seguente sistema ha soluzione e in tali casi quante sono le soluzioni;
quando è impossibile e quando è indeterminato.
kx + (k-1)y=1
3x + (k-1)y=3
Il mio ragazzo ha svolto l'esercizio utilizzando solo i determinanti,quindi senza cercare i ranghi,fare orlati o cose simili.
é possibile e corretto?
A= prima colonna : k ; 3
seconda colonna : k-1 ; k-1
(scusate non so scrivere la matrice... ho provato con \lgroup e \rgroup ma non funziona...)
Da qui lui ha trovato con il metodo di Cramer che per k diverso da 1 e k diverso da 3 il sistema è determinato e ammette due soluzioni.
Per $k=1$ il sistema è indeterminato e
Per $k=3$ il sistema è impossibile
quando è impossibile e quando è indeterminato.
kx + (k-1)y=1
3x + (k-1)y=3
Il mio ragazzo ha svolto l'esercizio utilizzando solo i determinanti,quindi senza cercare i ranghi,fare orlati o cose simili.
é possibile e corretto?
A= prima colonna : k ; 3
seconda colonna : k-1 ; k-1
(scusate non so scrivere la matrice... ho provato con \lgroup e \rgroup ma non funziona...)
Da qui lui ha trovato con il metodo di Cramer che per k diverso da 1 e k diverso da 3 il sistema è determinato e ammette due soluzioni.
Per $k=1$ il sistema è indeterminato e
Per $k=3$ il sistema è impossibile
Risposte
Ciao.
Una piccola correzione: essendo il sistema lineare, esso ammette - quando è determinato - un'unica soluzione costituita da una coppia $(x,y)$; non è corretto affermare che il sistema ammette due soluzioni.
Al di là di ciò, applicare la regola di Cramer è possibile quando, in un sistema lineare, il numero delle equazioni è pari al numero delle incognite, ma, in generale, la regola non è affatto comoda quando il numero delle equazioni (e delle incognite) è maggiore anche di una modesta entità: per esempio, con 5 equazioni e 5 incognite, soprattutto quando il sistema è completo, ci si trova a dover calcolare 6 determinanti di matrici di ordine 5.
Comunque il risultato ricavato è senz'altro corretto.
Saluti.
P.S. nella pagina delle [formule][/formule] del forum c'è anche una sezione dedicata proprio alla formulazione delle matrici.
Una piccola correzione: essendo il sistema lineare, esso ammette - quando è determinato - un'unica soluzione costituita da una coppia $(x,y)$; non è corretto affermare che il sistema ammette due soluzioni.
Al di là di ciò, applicare la regola di Cramer è possibile quando, in un sistema lineare, il numero delle equazioni è pari al numero delle incognite, ma, in generale, la regola non è affatto comoda quando il numero delle equazioni (e delle incognite) è maggiore anche di una modesta entità: per esempio, con 5 equazioni e 5 incognite, soprattutto quando il sistema è completo, ci si trova a dover calcolare 6 determinanti di matrici di ordine 5.
Comunque il risultato ricavato è senz'altro corretto.
Saluti.
P.S. nella pagina delle [formule][/formule] del forum c'è anche una sezione dedicata proprio alla formulazione delle matrici.
"alessandro8":
Ciao.
Una piccola correzione: essendo il sistema lineare, esso ammette - quando è determinato - un'unica soluzione costituita da una coppia $(x,y)$; non è corretto affermare che il sistema ammette due soluzioni.
Al di là di ciò, applicare la regola di Cramer è possibile quando, in un sistema lineare, il numero delle equazioni è pari al numero delle incognite, ma, in generale, la regola non è affatto comoda quando il numero delle equazioni (e delle incognite) è maggiore anche di una modesta entità: per esempio, con 5 equazioni e 5 incognite, soprattutto quando il sistema è completo, ci si trova a dover calcolare 6 determinanti di matrici di ordine 5.
Comunque il risultato ricavato è senz'altro corretto.
Saluti.
P.S. nella pagina delle [formule][/formule] del forum c'è anche una sezione dedicata proprio alla formulazione delle matrici.
Grazie, è la prima volta che lavoro con queste cose quindi comunque ho i miei dubbi su ciò che faccio xD
Dopo aver svolto l' esercizio ho provato a sostituire a K i valori di K secondo il quali il sistema sarebbe indeterminato e impossibile..
Per K=3 nessun problema, in quanto una volta trovata un' incognita in funzione dell' altra (sia che lo faccia nella prima o seconda equazione del sistema) non si riesce appunto a trovare una soluzione perché verrebbe x = (1-2y)/3 e dunque si è impossibilitati dall' attribuire un valore prettamente numerico alle incognite.
Per K=1 però (sempre sostituendolo indipendentemente alla prima e seconda equazione del sistema) ottengo come risultati x = 1 che a me sembra comunque una soluzione...
non conoscendo bene la teoria a riguardo mi son detto : "probabilmente il sistema si dice indeterminato perché si riesce a determinare una sola delle due incognite" ...è davvero così?
grazie ancora comunque ho già consultato la sezione dedicata alle matrici e visto qualcosa sui ranghi ecc ecc ma ad ogni modo credo che per l' esame che sto preparando debba saper risolvere sistemi a 2 massimo 3 equazioni e matrici quadrate.
Ciao.
Quando si hanno dei sistemi a matrice quadrata, applicando la regola di Cramer per il calcolo delle componenti della soluzione, indicando con $Delta$ il determinante della matrice del sistema e con $Delta_i$ il determinante della matrice ottenuta sostituendo alla i-esima colonna la colonna dei termini noti, i casi possibili sono i seguenti:
1) $Delta!=0 Rightarrow$ il sistema è determinato e ammette unica soluzione;
2) $Delta=0, Delta_i=0 Rightarrow$ il sistema è indeterminato (ammette infinite soluzioni);
3) $Delta=0, Delta_i!=0 Rightarrow$ il sistema è impossibile (non ammette alcuna soluzione).
Ciò deriva dal fatto che, per ricavare la componente $x_i$ della soluzione, si deve calcolare:
$x_i=(Delta_i)/(Delta)$
e, le divisioni del tipo $0/0$ sono indeterminate, mentre quelle del tipo $k/0$ (con $k!=0$) non ammettono risultato.
Saluti.
Quando si hanno dei sistemi a matrice quadrata, applicando la regola di Cramer per il calcolo delle componenti della soluzione, indicando con $Delta$ il determinante della matrice del sistema e con $Delta_i$ il determinante della matrice ottenuta sostituendo alla i-esima colonna la colonna dei termini noti, i casi possibili sono i seguenti:
1) $Delta!=0 Rightarrow$ il sistema è determinato e ammette unica soluzione;
2) $Delta=0, Delta_i=0 Rightarrow$ il sistema è indeterminato (ammette infinite soluzioni);
3) $Delta=0, Delta_i!=0 Rightarrow$ il sistema è impossibile (non ammette alcuna soluzione).
Ciò deriva dal fatto che, per ricavare la componente $x_i$ della soluzione, si deve calcolare:
$x_i=(Delta_i)/(Delta)$
e, le divisioni del tipo $0/0$ sono indeterminate, mentre quelle del tipo $k/0$ (con $k!=0$) non ammettono risultato.
Saluti.
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