Conferma sulla correttezza di due esercizi
Qui di seguito riporto alcuni punti di due esercizi perchè non sono sicuro sulla correttezza dello svolgimento.
ESERCIZIO 1
Dato l'insieme $\gamma={(x,y)inRR^2: x^2+x+y^3=1}$
1.dire se è una curva regolare
una curva è regolare se è di classe $C^1$, quindi $||\gamma'_(x,y)!=0||$
$\gamma'=(2x+1,3y^2)$ si annulla solo per $P=(-1/2,0)$ che non appartiene alla curva quindi la curva è regolare
2.scrivere l'equazione cartesiana della retta tangente a $\gamma$ nel punto $P=(-1,1)$
la retta tangente in P è data da $f'_x(P)(x-x_0)+f'_y(P)(y-y_0)=0$ quindi $(2 (-1)+1)(x+1)+3(y-1)=0$
Il piano è $x-3y-4=0$
ESERCIZIO2
Data la coppia $(\sum,r)$ in $RR^3$ con parametrizzazione $r: K\rightarrow RR^3$ $r(u,v)=(1-u^2-v^2)i+(u^2)j+(u^2+2v)k$ dove $K={(u,v)in RR^2 : 0<=u^2+v^2<=1, u>=0}$
1. dire se $\sum=r(K)$ è una superficie regolare
E' una superficie regolare se è di classe $C^1$, se è iniettiva e se il differenziale dr (matrice jacobiana) è di rango 2
$r_(u,v)'= ((-2u,-2v),(2u,0),(2u,2))$ è continua in tutto $RR^2$ quindi è di classe $C^1$, iniettiva perché $r(u_1,v_1)!=r(u_2,v_2)$ e lo jacobiano è di rango due quindi la superficie è regolare
2.scrivere l’equazione cartesiana del piano tangente a $\sum$ nel punto $P=r(1/2,0)$
$P=(1/2,1/4,1/4)$
$\{(x=1-u^2-v^2),(y=u^2),(z=y+2v):}$ $\{(x=1-u^2-v^2),(y=u^2),(v=z/2-y/2):}$
$y^2-z^2-2yz-4y-4x+1=0$ equazione cartesiana della superficie
L'equazione del piano tangente in $P$ è $f'_x(P)(x-x_0)+f'_y(P)(y-y_0)+ f'_z(P)(z-z_0)=0$
$f_x'=-4$ $f_y'=2y-2z$ $f_z'=-2z-2y$
$f_x(P)'=-4$ $f_y'(P)=0$ $f_z'(P)=-1$
$-4(x-1/2)-1(z-1/4)=0$ $-4x+2-z+1/4=0$
$4x+z-9/4=0$ equazione piano tangente in P
Grazie a chiunque mi aiuterà
ESERCIZIO 1
Dato l'insieme $\gamma={(x,y)inRR^2: x^2+x+y^3=1}$
1.dire se è una curva regolare
una curva è regolare se è di classe $C^1$, quindi $||\gamma'_(x,y)!=0||$
$\gamma'=(2x+1,3y^2)$ si annulla solo per $P=(-1/2,0)$ che non appartiene alla curva quindi la curva è regolare
2.scrivere l'equazione cartesiana della retta tangente a $\gamma$ nel punto $P=(-1,1)$
la retta tangente in P è data da $f'_x(P)(x-x_0)+f'_y(P)(y-y_0)=0$ quindi $(2 (-1)+1)(x+1)+3(y-1)=0$
Il piano è $x-3y-4=0$
ESERCIZIO2
Data la coppia $(\sum,r)$ in $RR^3$ con parametrizzazione $r: K\rightarrow RR^3$ $r(u,v)=(1-u^2-v^2)i+(u^2)j+(u^2+2v)k$ dove $K={(u,v)in RR^2 : 0<=u^2+v^2<=1, u>=0}$
1. dire se $\sum=r(K)$ è una superficie regolare
E' una superficie regolare se è di classe $C^1$, se è iniettiva e se il differenziale dr (matrice jacobiana) è di rango 2
$r_(u,v)'= ((-2u,-2v),(2u,0),(2u,2))$ è continua in tutto $RR^2$ quindi è di classe $C^1$, iniettiva perché $r(u_1,v_1)!=r(u_2,v_2)$ e lo jacobiano è di rango due quindi la superficie è regolare
2.scrivere l’equazione cartesiana del piano tangente a $\sum$ nel punto $P=r(1/2,0)$
$P=(1/2,1/4,1/4)$
$\{(x=1-u^2-v^2),(y=u^2),(z=y+2v):}$ $\{(x=1-u^2-v^2),(y=u^2),(v=z/2-y/2):}$
$y^2-z^2-2yz-4y-4x+1=0$ equazione cartesiana della superficie
L'equazione del piano tangente in $P$ è $f'_x(P)(x-x_0)+f'_y(P)(y-y_0)+ f'_z(P)(z-z_0)=0$
$f_x'=-4$ $f_y'=2y-2z$ $f_z'=-2z-2y$
$f_x(P)'=-4$ $f_y'(P)=0$ $f_z'(P)=-1$
$-4(x-1/2)-1(z-1/4)=0$ $-4x+2-z+1/4=0$
$4x+z-9/4=0$ equazione piano tangente in P
Grazie a chiunque mi aiuterà
Risposte
non faccio questi esercizi da una vita, però ti posso dire la mia impressione scorrendo il tuo procedimento:
1.1: OK
1.2: hai cambiato segno ai termini con le incognite, allora dovresti cambiarlo anche al termine noto (+4)
sul secondo non ce l'ho fatta a seguire il calcolo, ma dal tuo sistema ho ottenuto un'equazione cartesiana un po' diversa:
potrebbe essere anche sbagliata, ma te la posto comunque: $y^2+z^2-2yz+4x+4y-4=0$
rivedi i calcoli e facci sapere. ciao.
1.1: OK
1.2: hai cambiato segno ai termini con le incognite, allora dovresti cambiarlo anche al termine noto (+4)
sul secondo non ce l'ho fatta a seguire il calcolo, ma dal tuo sistema ho ottenuto un'equazione cartesiana un po' diversa:
potrebbe essere anche sbagliata, ma te la posto comunque: $y^2+z^2-2yz+4x+4y-4=0$
rivedi i calcoli e facci sapere. ciao.
"adaBTTLS":
non faccio questi esercizi da una vita, però ti posso dire la mia impressione scorrendo il tuo procedimento:
1.1: OK
1.2: hai cambiato segno ai termini con le incognite, allora dovresti cambiarlo anche al termine noto (+4)
sul secondo non ce l'ho fatta a seguire il calcolo, ma dal tuo sistema ho ottenuto un'equazione cartesiana un po' diversa:
potrebbe essere anche sbagliata, ma te la posto comunque: $y^2+z^2-2yz+4x+4y-4=0$
rivedi i calcoli e facci sapere. ciao.
Allora per l'1.2 hai ragione, il secondo non riesco a capire perchè non riesci a seguire i miei calcoli...per prima cosa, il procedimento è giusto?
fino al sistema ho seguito e mi pare corretto.
dal sistema all'equazione cartesiana, non riuscendo a capire i tuoi passaggi, ho rifatto i conti a mano ed ho ottenuto quello che ti ho scritto.
da quel momento in poi, il procedimento è fortemente condizionato da quel risultato parziale.
dal sistema all'equazione cartesiana, non riuscendo a capire i tuoi passaggi, ho rifatto i conti a mano ed ho ottenuto quello che ti ho scritto.
da quel momento in poi, il procedimento è fortemente condizionato da quel risultato parziale.
No il piano torna come hai fatto tu, ho fatto un errore di calcolo 
di seguito (a parte i calcoli) il procedimento è corretto?
di seguito (a parte i calcoli) il procedimento è corretto?
il procedimento mi pare di sì, ma a questo punto i calcoli non li ho presi per niente in considerazione ...
grazie mille per l'aiuto
prego.
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