Conferma sul procedimento del calcolo delle controimmagini

[Castle1]

Buonasera ragazzi
Ho riscontrato delle difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio:
Sia `V` uno spazio vettoriale sul campo reale e sia `B=(e_1,e_2,e_3)` una sua base ordinata. Si consideri l'endomorfismo `f:V->V` definito ponendo:
`f(e_1)= -e_1 - 2e_2`
`f(e_2)= 2e_1 + 4e_2`
`f(e_3)=-2e_1 - e_2 + 3e_3`

Calcolare:
1) I sottospazi `Ker f` ed `Im f`
2) Le controimmagini dei vettori `e_1+e_2` e `2e_1+e_2-e_3`

Possibile svolgimento
Punto 1
1) Per quanto riguarda `Ker f` ed `Im f` non credo di avere grandi problemi, ma volevo ugualmente (se possibile ) una conferma, perciò.... io ho ragionato così :
1a) Calcolo la matrice associata formata da vettori colonna che è : `((-1,2,-2),(-2,4,-1),(0,0,3))`
1b) Risolvo il sistema lineare ad esso associato e trovo dimensione e base di `Ker f`
1c) Calcolo il rango della matrice associata ed ottengo la dimensione di `Im f`
1d) Considero i vettori colonna della matrice associata e vedo quali sono linearmente indipendenti ottendo una base di `Im f`
Punto 2
2) Qui ho qualche dubbio ma vi espongo lo stesso il mio probabile procedimento
2a) Devo calcolare le controimmagini dei vettori `(1,1,0)` e `(2,1,-1)`
2b) Devo risolvere il sistema associato alla matrice che ha per soluzioni una volta `(1,1,0)` ed un'altra `(2,1,-1)` (giusto?)
`{ (-x_1+2x_2-2x_3=1,) , (-2x_1+4x_2-x_3=1,) , (3x_3=0,) :}`
e
`{ (-x_1+2x_2-2x_3=2,) , (-2x_1+4x_2-x_3=-1,) , (3x_3=-1,) :}`
Adesso la mia domanda è:
Il procedimento per il calcolo delle controimmagini è giusto?

[_prime_number]

Confermo tutto.

Paola