Conferma correttezza esercizio su endomorfismo
scusatemi se vi stresso particolarmente ma tra pochi giorni ho l'esame di geometria :-S
volevo chiedervi se il seguente esercizio è corretto (ho un pò di problemi sull'applicazione identica)
ecco il testo:
Sia $V$ uno spazio di dimensione 3 e $B={e_1,e_2,e_3}$ una sua base. Sia $f: Vrarr V$ l'endomorfismo definito da $f(e_1)=2(e_2)+3(e_3)$ $f(e_2)=2(e_1)-5(e_2)-8(e_3)$ $f(e_3)=-(e_1)+4(e_2)+6(e_3)$
a.determinare la matrice associata a $f^2$=$f @ f$ rispetto a $B$
b.determinare i sottospazi vettoriali $Ker(f-id)$ e $Ker(f^2+id)$
c.dimostrare che $Ker(f-id)$ e $Ker(f^2+id)$ sono supplementari in $V$
d.dire se $f$ o $f^2$ sono diagonalizzabili.
Svolgimento
a.ho calcolato le immagini dei vettori della base
$f(e_1)=(0,2,3)$ $f(e_3)=(2,-5,-8)$ $f(e_3)=(-1,4,6)$
la matrice associata ad f quindi è $M=$ $((0,2,-1),(2,-5,4),(3,-8,6))$
la matrice associata ad $f^2$ è $N=$ $((1,-2,2),(2,-3,2),(2,-2,1))$
l'ho calcolata facendo $M^2$ poichè la matrice di una applicazione composta è il prodotto tra le matrici associate alle due applicazioni.
b. la matrice associata a $(f-id)$ è la matrice associata ad $f$ meno la matrice identità $M(f-id)=$ $((-1, 2, -1),(2, -6 , 4),(3 ,-8 , 5))$
ho calcolato la dimensione del $Ker(f-id)$ che è 1
e ne ho calcolato una base che dovrebbe essere $B={(-1,1,1)}$
mentre la matrice associata ad $(f^2+id)$ è $A=$ $((2, -2 ,2),(2 ,-2 ,2),(2,-2,2))$
quindi il $ker$ ha dimensione $2$ e una sua base è $B={(1,1,0),(-1,0,1)}$.
c.per dimostrare che $Ker(f-id)$ e $Ker(f^2+id)$ fossero supplementari in $V$ ho semplicemente dimostrato che i vettori delle loro basi fossero indipendenti e che fossero una base per $V$, per sicurezza con grassmann ho anche controllato che la dimensione dell'intersezione fosse $0$.
d. per vedere se $f$ fosse diagonalizzabile ho calcolato il polinomio caratteristico e le sue radici che ,salvo errori di calcolo, sono $1$ $i$ e $-i$ quindi $f$ non è diagonalizzabile poichè le radici non sono tutte reali
invece le radici del polinomio caratteristico di $f^2$ sono $-1$ (con molteplicità algebrica 2) e $1$.
ho controllato la molteplicità geometrica di $-1$ che è $1$ e quindi ho concluso che neanche $f^2$ è diagonalizzabile!
scusate so che è molto lungo e tra l'altro ancora non so scrivere bene le formule (come avete potuto notare per le matrici)... promettoc he imparerò presto!!!
volevo chiedervi se il seguente esercizio è corretto (ho un pò di problemi sull'applicazione identica)
ecco il testo:
Sia $V$ uno spazio di dimensione 3 e $B={e_1,e_2,e_3}$ una sua base. Sia $f: Vrarr V$ l'endomorfismo definito da $f(e_1)=2(e_2)+3(e_3)$ $f(e_2)=2(e_1)-5(e_2)-8(e_3)$ $f(e_3)=-(e_1)+4(e_2)+6(e_3)$
a.determinare la matrice associata a $f^2$=$f @ f$ rispetto a $B$
b.determinare i sottospazi vettoriali $Ker(f-id)$ e $Ker(f^2+id)$
c.dimostrare che $Ker(f-id)$ e $Ker(f^2+id)$ sono supplementari in $V$
d.dire se $f$ o $f^2$ sono diagonalizzabili.
Svolgimento
a.ho calcolato le immagini dei vettori della base
$f(e_1)=(0,2,3)$ $f(e_3)=(2,-5,-8)$ $f(e_3)=(-1,4,6)$
la matrice associata ad f quindi è $M=$ $((0,2,-1),(2,-5,4),(3,-8,6))$
la matrice associata ad $f^2$ è $N=$ $((1,-2,2),(2,-3,2),(2,-2,1))$
l'ho calcolata facendo $M^2$ poichè la matrice di una applicazione composta è il prodotto tra le matrici associate alle due applicazioni.
b. la matrice associata a $(f-id)$ è la matrice associata ad $f$ meno la matrice identità $M(f-id)=$ $((-1, 2, -1),(2, -6 , 4),(3 ,-8 , 5))$
ho calcolato la dimensione del $Ker(f-id)$ che è 1
e ne ho calcolato una base che dovrebbe essere $B={(-1,1,1)}$
mentre la matrice associata ad $(f^2+id)$ è $A=$ $((2, -2 ,2),(2 ,-2 ,2),(2,-2,2))$
quindi il $ker$ ha dimensione $2$ e una sua base è $B={(1,1,0),(-1,0,1)}$.
c.per dimostrare che $Ker(f-id)$ e $Ker(f^2+id)$ fossero supplementari in $V$ ho semplicemente dimostrato che i vettori delle loro basi fossero indipendenti e che fossero una base per $V$, per sicurezza con grassmann ho anche controllato che la dimensione dell'intersezione fosse $0$.
d. per vedere se $f$ fosse diagonalizzabile ho calcolato il polinomio caratteristico e le sue radici che ,salvo errori di calcolo, sono $1$ $i$ e $-i$ quindi $f$ non è diagonalizzabile poichè le radici non sono tutte reali
invece le radici del polinomio caratteristico di $f^2$ sono $-1$ (con molteplicità algebrica 2) e $1$.
ho controllato la molteplicità geometrica di $-1$ che è $1$ e quindi ho concluso che neanche $f^2$ è diagonalizzabile!
scusate so che è molto lungo e tra l'altro ancora non so scrivere bene le formule (come avete potuto notare per le matrici)... promettoc he imparerò presto!!!
Risposte
prova ad usare i codici per inserire le formule, per rendere il tutto più semplice e comprensibile agli utenti, in modo che ti possano rispondere
ok ho impiegato 1 ora per riscrivere tutto con le formule...............ora vi prego rispondetemi!!!! 
Apprezzo la tua buona volontà nello scrivere un post così lungo con le formule. 
Ho dato un'occhiata ad a), b) e c).
Per a) tutto ok.
Per b) non mi ritrovo nel calcolo di $ker(f-id)$. Infatti
$((-1,2,-1),(2,-6,4),(3,-8,5))((-1),(1),(1))=((2),(-4),(-6))$
e non è uguale a zero come mi aspettavo.
Ok il calcolo di $ker(f^2+id)$.
Per il punto c), il procedimento è giusto.
Ho dato un'occhiata ad a), b) e c).
Per a) tutto ok.
Per b) non mi ritrovo nel calcolo di $ker(f-id)$. Infatti
$((-1,2,-1),(2,-6,4),(3,-8,5))((-1),(1),(1))=((2),(-4),(-6))$
e non è uguale a zero come mi aspettavo.
Ok il calcolo di $ker(f^2+id)$.
Per il punto c), il procedimento è giusto.
si hai ragione al $Ker (f-id)$ ho sbagliato a scrivere la base è $B=(1,1,1)$
oddio sei stata gentilissima!!!!! grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeee!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
oddio sei stata gentilissima!!!!! grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeee!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ho dato un'occhiata anche al punto d). Non ho controllato i conti, ma il procedimento è giusto.
Gentilissimo! Sono un maschietto
Prego!
"ballerina90":
sei stata gentilissima!!!!! grazieeeeeee
Gentilissimo! Sono un maschietto
Prego!
ops 
scusa!!!!
scusa!!!!
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